Fonctions affines et linéaires/Compléments sur les fonctions affines

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Fonctions affines

Définition

• Une fonction affine est une fonction qui peut être définie sur $\mathbb {R}$ par une expression de la forme :

$f(x)=a\times x+b$

Le coefficient a s’appelle coefficient directeur.

Le coefficient b s’appelle ordonnée à l'origine.

• Si l'ordonnée à l'origine b est nulle, la fonction est linéaire.
• Si le coefficient directeur a est nul , la fonction est constante.

Représentation graphique

Définition

• La représentation graphique d'une fonction affine $f(x)=a\times x+b$

est une droite d'équation $y=a\times x+b$

• Si la fonction est linéaire ($b=0$), la droite passe par l'origine.
• Si la fonction est constante ($a=0$), la droite est horizontale.

On comprend alors pourquoi on appelle le coefficient b : ordonnée à l'origine.

Sens de variation

Début d’un théorème

Théorème

Soit $f$ une fonction affine de coefficient directeur a.

• Si a est strictement positif, $f$ est strictement croissante sur $\mathbb {R}$.

• Si a est strictement négatif, $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb {R}$.
• Si a est nul, $f$ est constante sur $\mathbb {R}$.

Fin du théorème

Proportionnalité des accroissements

Début d’un théorème

Théorème

Soit $f$ une fonction affine de coefficient directeur a.

Les accroissements des images $f(x)$ sont proportionnels

aux accroissements des $x$, et le coefficient de proportionnalité est a.

Cela signifie que pour tout couple de réels $x_{1}$ et $x_{2}$, on a :

$a={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}$

Fin du théorème