Relation (mathématiques)/Relation fonctionnelle

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Fonction et Application

• Une relation fonctionnelle (ou fonction) de $E$ vers $F$ est une relation $(E,F,{\mathcal {G}})$ où, pour tout x de E, il existe au plus un y de F tel que $xRy$ :

$\forall (x,y,y')\in E\times F\times F,xRy{\text{ et }}xRy'\implies y=y'.$

La partie $\{x\in E:\exists y\in F,xRy\}$ est le domaine de définition de R. En pratique, on note alors y=R(x).

• Une relation applicative (ou application) de $E$ vers $F$ est une relation $(E,F,{\mathcal {G}})$ où, pour tout x de E, il existe un unique y de F tel que xRy :

$\forall x\in E,\exists !y\in F,xRy$

Ainsi, une application est une fonction définie partout.

Exemples

• La relation définie par $y=1/x$ définit une fonction de $\mathbb {R}$ vers $\mathbb {R}$.

Ce n'est cependant pas une application car pour x = 0, il n'existe aucun y qui satisfasse la relation.

• La relation définie par $y=1/x$ définit une application de $\mathbb {R}$\{0} vers $\mathbb {R}$