Étude de fonctions/Exercices/Fonctions associées

Exercice 1

Soit u une fonction définie sur $[-3;5]$ dont on donne le tableau de variation :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-3&&0&&2&&5\\\hline &&&4&&&&\\&&\nearrow &&\searrow &&&\\{\textrm {Variations~de}}~u&2&&&&0&&\\&&&&&&\searrow &\\&&&&&&&-6\\\hline \end{array}}$

Déterminer le tableau de variation des fonctions suivantes : $f:x\mapsto u(x+1)-2$ $g:x\mapsto 2-u(x-3)$ $h:x\mapsto |u(x)|$

Solution

Tableau de variation de $f:x\mapsto u(x+1)-2$ :

On applique $t_{-{\vec {i}}}$ :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-4&&-1&&1&&4\\\hline &&&4&&&&\\&&\nearrow &&\searrow &&&\\{\textrm {Variations~de}}~x\mapsto u(x+1)&2&&&&0&&\\&&&&&&\searrow &\\&&&&&&&-6\\\hline \end{array}}$

Puis $t_{-2{\vec {j}}}$ :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-4&&-1&&1&&4\\\hline &&&2&&&&\\&&\nearrow &&\searrow &&&\\{\textrm {Variations~de}}~f&0&&&&-2&&\\&&&&&&\searrow &\\&&&&&&&-8\\\hline \end{array}}$

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Tableau de variation de $g:x\mapsto 2-u(x-3)$

On applique $t_{3{\vec {i}}}$ :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&0&&3&&5&&8\\\hline &&&4&&&&\\&&\nearrow &&\searrow &&&\\{\textrm {Variations~de}}~x\mapsto u(x-3)&2&&&&0&&\\&&&&&&\searrow &\\&&&&&&&-6\\\hline \end{array}}$

Puis ${\rm {S}}_{\rm {(Ox)}}$ :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&0&&3&&5&&8\\\hline &&&&&&&6\\&&&&&&\nearrow &\\{\textrm {Variations~de}}~x\mapsto -u(x-3)&-2&&&&0&&\\&&\searrow &&\nearrow &&&\\&&&-4&&&&\\\hline \end{array}}$

Puis enfin $t_{2{\vec {j}}}$ :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&0&&3&&5&&8\\\hline &&&&&&&6\\&&&&&&\nearrow &\\{\textrm {Variations~de}}~g&0&&&&2&&\\&&\searrow &&\nearrow &&&\\&&&-2&&&&\\\hline \end{array}}$

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Tableau de variation de $h:x\mapsto |u(x)|$ :

On rappelle que :

• Pour tout x tel que $u(x)\geq 0,~|u(x)|=u(x)$
• Pour tout x tel que $u(x)\leq 0,~|u(x)|=-u(x)$

Toutes les parties du tableau de variations resteront inchangées lorsque les valeurs de u sont positives, et seront « inversées » lorsque les valeurs de u seront négatives.

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-3&&0&&2&&5\\\hline &&&4&&&&6\\{\textrm {Variations~de}}~h&&\nearrow &&\searrow &&\nearrow &\\&2&&&&0&&\\\hline \end{array}}$

 

Exercice 2

On pose les fonctions $f$ et $u$, définies sur $\mathbb {R}$ par :

• $f:x\mapsto -(x-1)^{2}+5$ ;
• $u:x\mapsto x^{2}$.

On note ${\mathcal {C}}_{f}$ et ${\mathcal {C}}_{u}$ les courbes représentatives de $f$ et $u$ dans un repère orthonormé $({\rm {O}};{\vec {i}},{\vec {j}})$ donné.

1. Pour tout x, écrire $f$(x) en utilisant $u$.
2. Donner les transformations qui permettent d'obtenir ${\mathcal {C}}_{f}$ à partir de ${\mathcal {C}}_{u}$
3. Dresser le tableau de variations de $f$.

Solution

1. Pour tout x, $f(x)=-u(x-1)+5$
2. Pour obtenir ${\mathcal {C}}_{f}$, on trace l'image de ${\mathcal {C}}_{u}$ par $t_{\vec {i}}$, puis ${\rm {S}}_{({\rm {Ox}})}$ et enfin $t_{5{\vec {j}}}$.
3. On part du tableau de variations de $u$, bien connu :

   ${\begin{array}{c|ccccc|}x&-\infty &&0&&+\infty \\\hline &+\infty &&&&+\infty \\u(x)&&\searrow &&\nearrow &\\&&&0&&\\\hline \end{array}}$

   On applique $t_{\vec {i}}$ :

   ${\begin{array}{c|ccccc|}x&-\infty &&1&&+\infty \\\hline &+\infty &&&&+\infty \\u(x-1)&&\searrow &&\nearrow &\\&&&0&&\\\hline \end{array}}$

   Puis ${\rm {S}}_{({\rm {Ox}})}$ :

   ${\begin{array}{c|ccccc|}x&-\infty &&1&&+\infty \\\hline &&&0&&\\-u(x-1)&&\nearrow &&\searrow &\\&-\infty &&&&-\infty \\\hline \end{array}}$

   et enfin $t_{5{\vec {j}}}$.

   ${\begin{array}{c|ccccc|}x&-\infty &&1&&+\infty \\\hline &&&5&&\\f(x)&&\nearrow &&\searrow &\\&-\infty &&&&-\infty \\\hline \end{array}}$

 

Exercice 3

La figure ci-dessous représente le graphe, en gras, d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb {R}$ (attention : le repère n'est pas orthonormé !), ainsi que deux droites D₁ et D₂.

1. Dire à quelle droite correspond chaque équation

   $y=x+3$, (1)

   $y=2x+3$. (2)

2. Expliquez pourquoi on a $f(x)<3$ pour tout $x$ dans l'intervalle [−1, 1].
3. D'après le graphe de $f$ donné, quelles semblent être les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$ ?
   Dans les deux questions suivantes, on admet que le comportement de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$ est celui-là.
4. Donner le signe sur $\mathbb {R}$ de la dérivée $f'$ de $f$. Dressez alors le tableau de variations de $f$.
5. Donner une valeur approchée du réel $\gamma$ vérifiant $f(\gamma )=10$.

Solution

1. La droite D₂ ayant une pente plus grande que celle de D₁, la droite D₁ est celle d'équation (1) et la droite D₂ est celle d'équation (2).

2. La fonction $f$ atteint son maximum sur [−1, 1] en $x=0$ et le point correspondant de son graphe est sous les droites D₁ et D₂. Comme les fonctions représentées par ces deux droites prennent la valeur 3 en $x=0$, on a bien $f(x)<3$ pour tout $x$ dans l'intervalle [−1, 1].

3. D'après le graphe de $f$ donné, il semble que la limite de $f$ en $-\infty$ soit 0 (l'axe des $x$ semble être asymptote). En $+\infty$, la droite D₁ semble être asymptote au graphe de $f$. On en déduit que la limite de $f$ en $+\infty$ est la limite de $x+3$ en $+\infty$, c’est-`a-dire $+\infty$.

4. La fonction $f$ étant graphiquement croissante sur ]−∞, 0], décroissante sur [0, 1] et croissante sur [1, +∞[, $f'$ est positive sur ]−∞, 0], négative sur [0, 1] et positive sur [1, +∞[. D'après le graphique fourni, le tableau de variation serait donc

${\begin{array}{|c|lcccc|}\hline x&-\infty &&0&&1&&+\infty \\\hline f'(x)&&+&0&-&0&+\\\hline &&&\alpha <3&&&&+\infty \\f(x)&&\nearrow &&\searrow &&\nearrow &\\&0&&&&\beta <0&&\\\hline \end{array}}$

5. On approxime le réel $\gamma$ en utilisant l'asymptote D₁. On résout donc $x+3=10$ et l'on trouve $\gamma \approx 7$.

 

Exercice 4

La figure ci-dessous montre le nombre de phoques et d'ours dans une population arctique. L'évolution de ces deux populations a été étudiée sur une période de 600 jours.

1. Quelles sont les populations initiales de phoques et d'ours ?
2. Quelle est la vitesse de croissance de la population de phoques à l'instant initial ?
3. Quelle est la valeur de la dérivée de la population de phoques en fonction du temps :
   • lorsque le nombre de phoques est le plus important ?
   • lorsqu'il est le moins important ?

   Expliquer ce que signifie le résultat obtenu.

4. Faire un tracé approximatif de la dérivée de la population de phoques en fonction du temps.
5. En déduire des valeurs approximatives de la taille de la population de phoques :
   • lorsque sa dérivée est la plus grande ;
   • lorsque sa dérivée est la plus faible.

   Expliquer également la signification du résultat obtenu.

Solution

1. À l'instant initial, il y a 3000 phoques et 400 ours.

2. À l'instant initial, la croissance de la population de phoques est approximativement de 8000 − 3000/150 − 0 = 33,3 phoques par jours.

3. Le nombre de phoques devient maximum au 120-ième jour avec 5800 phoques. Or la tangente à la courbe au temps = 120 est horizontale et donc de pente nulle. En d'autre termes, lorsque le nombre de phoques est maximum, la dérivée de la population par rapport au temps est égale à zéro. C'est la propriété d'un extremum local. Même raisonnement lorsque le nombre de phoques est minimum, c'est-à-dire au 450-ième jour et au-delà. À partir du 450-ième jour, la tangente à la courbe devient horizontale et la dérivée de la de la population par rapport au temps vaut zéro.

4.

5. On raisonne sur le graphe de y et de y’ mis l’un en dessous de l’autre. On voit que lorsque la valeur de la dérivée est la plus grande, autrement dit lorsque la croissance de la population de phoques est la plus forte, la population compte 3000 individus (jour 0). Tandis que lorsque la dérivé est la plus faible, il y a 4000 phoques dans la population (jour 187). Ici, la valeur de la dérivée minimum est négative. Il s'agit donc d'une décroissance de population : le nombre de phoques morts est supérieur au nombre de naissances. Pour être précis, au 187-ième jour, on perd 37 phoques par jour (voir graphique de la dérivée).