Équations/Connaître la notion d'équation

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Introduction aux équations

Utilité des équations

À quoi sert une équation ?

Une équation est un moyen de traduire mathématiquement un problème (physique, géométrique, financier etc.) exprimé initialement sous forme de texte. Le texte contient des informations chiffrées (valeurs numériques) devant être extraites et placées au sein d’une égalité. D’autres informations dont on ne connait pas les valeurs sont exprimées sous forme de lettres et placées à l’intérieur de l’égalité. Les informations connues et inconnues sont liées.

L’objectif de la résolution d’une équation est le calcul des valeurs que peuvent prendre les variables (inconnues). Il s’agit de trouver les nombres vérifiant l’équation afin de résoudre le problème posé. La question posée dans l'énoncé permet de faire le choix de l'inconnue.

Que faire une fois que l'équation est résolue ?

Lorsque l’équation traduisant le problème est résolue, il faut rédiger une phrase de conclusion en y intégrant la solution. Dans la phrase de conclusion, il faut utiliser les unités associées aux paramètres (ou grandeurs) énoncés dans le problème.

Exemples :

• Distance (unité : m)
• Vitesse (unité : m/s ou km/h)
• Prix (devise : € ou $)
• Masse (unité : kg)

Définitions et vocabulaire d'une équation

Définition d'une équation

Une équation est une égalité de deux expressions algébriques composées de nombres (valeurs connues) et de lettres (valeurs inconnues).

Les deux expressions sont toujours séparées par le symbole d'égalité $=$

L'expression située à gauche du symbole d'égalité est le membre de gauche.

L'expression située à droite du symbole d'égalité est le membre de droite.

Définition d'une inconnue

Au sein d'une équation, des lettres différentes représentent des paramètres différents (définis par des nombres) et une même lettre écrite à plusieurs endroits représente un même paramètre.

Une inconnue est donc une lettre qui représente un nombre que l'on ne connait pas au départ.

Début de l'exemple

Exemple 1

$2x^{2}-5=x+10$ est une équation à une inconnue : $x$

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemple 2

$3x+5y+1=4xy-2$ est une équation à deux inconnues : $x$ et $y$.

Fin de l'exemple

Remarque

Ces égalités peuvent être vraies pour certaines valeurs d'inconnues et fausses pour d'autres valeurs.

Début de l'exemple

Exemple 3

$3+x=11$ est une équation d'inconnue $x$.

• Si $x=8$ :
  • $3+8=11$ : L'égalité $3+x=11$ est vraie pour $x=8$. L'équation est vérifiée.

• Si $x=4$ :
  • $3+4=7$ : L'égalité $3+x=11$ est fausse pour $x=4$. L'équation n'est pas vérifiée.

Fin de l'exemple

Définitions de la solution et de la résolution d'une équation

• Solution d'une équation : Valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie.

Elle vérifie l'équation. L'ensemble des solutions d'une équation s'écrit sous la forme : $S=\{x_{1};x_{2};...;x_{n}\}$. Toutes les solutions sont des valeurs numériques (réelles ou complexes).

Dans le cas d'un ensemble vide (aucune solution) : $S=\emptyset$

• Résoudre une équation : Chercher et trouver toutes les solutions de l'équation. La résolution d'une équation est le fait de transformer cette équation en équations équivalentes toujours plus simples jusqu'à isoler la variable (inconnue) et l'exprimer sous forme d'une égalité avec les nombres présents dans le membre de droite.

Début de l'exemple

Exemple 4

On considère l'équation $5x-3=17$

• Si $x=6$ :
  • $5\times 6-3=30-3=27$. Or, le résultat est différent de 17 : L'égalité n'est pas vraie pour $x=6$.
  • On dit que 6 n'est pas solution de cette équation.

• Si $x=4$ :
  • $5\times 4-3=20-3=17$. Le résultat est 17 : L'égalité est vraie pour $x=4$.
  • On dit que 4 est solution de cette équation.

Fin de l'exemple

Tester un nombre et déterminer s'il est solution d'une équation

Méthode

Pour tester un nombre et vérifier s'il est solution (ou non) d'une équation d'inconnue $x$ :

• On calcule le membre de gauche en remplaçant $x$ par le nombre choisi ;
• On calcule le membre de droite en remplaçant $x$ par le nombre choisi ;
• On observe le résultat numérique de chaque membre et on détermine si les deux membres sont égaux ou non puis on conclut.

Remarque : Lorsqu'on remplace la variable $x$ par une valeur, on dit que l'on substitue la valeur à la variable $x$ (ou substituer la variable $x$ par la valeur).

Exemples

Début de l'exemple

Exemple

On considère l'équation $(E)$ : $3x+2=4x-3$

--> On veut déterminer si 8 est solution de $(E)$.

• Membre de gauche : $3x+2=3\times 8+2=24+2=26$
• Membre de droite : $4x-3=4\times 8-3=32-3=29$

Or, le résultat est différent de 26.

• Les deux résultats sont donc différents. On en conclut que 8 n'est pas solution de l'équation.

--> On veut déterminer si 5 est solution de $(E)$.

• Membre de gauche : $3x+2=3\times 5+2=15+2=17$
• Membre de droite : $4x-3=4\times 5-3=20-3=17$
• Les deux résultats sont donc égaux. On en conclut que 5 est solution de l'équation.

Fin de l'exemple

Remarque

Cette méthode fonctionne mais peut parfois être longue : il arrive souvent que la solution ne puisse pas être évidente ou ne puisse pas être trouvée aisément. On a donc mis en place des méthodes de calcul permettant de résoudre à coup sûr les équations.