Équation du quatrième degré/Exercices/Résolution de problèmes du quatrième degré

Définition

Un problème du quatrième degré est un problème dont la résolution fait intervenir une équation du quatrième degré.

Exercice 10-1

On se place dans un plan muni d'un repère orthonormé.

Soit C₁ le cercle d'équation cartésienne :

$x^{2}-4x+y^{2}-6y+9=0$.

Soit C₂ le cercle d'équation cartésienne :

$x^{2}+4x+y^{2}+4y+7=0$.

Calculer l'équation de toutes les droites qui sont tangentes à la fois à ces deux cercles.

Solution

Nous commencerons par deux rappels :

Début d’un théorème

Rappel 1

La distance d d'un point de coordonnées (u,v) à une droite d'équation ax + by + c = 0 est donnée par la formule :

$d={\frac {|au+bv+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$.

Fin du théorème

Début d’un théorème

Rappel 2

Une droite est tangente à un cercle si et seulement si la distance de cette droite au centre du cercle est égale au rayon.

Fin du théorème

Mise en équation du problème.

L'équation du cercle C₁ peut se mettre sous la forme :

$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=2^{2}$.

C₁ est donc le cercle de centre le point de coordonnées (2, 3) et de rayon 2.

L'équation du cercle C₂ peut se mettre sous la forme :

$(x+2)^{2}+(y+2)^{2}=1^{2}~$

C₂ est donc le cercle de centre le point de coordonnées (-2, -2) et de rayon 1.

Soit une droite d'équation y = mx + p. Cette droite sera tangente à la fois à C₁ et à C₂ si sa distance au centre de C₁ est 2 et si sa distance au centre de C₂ est 1, ce qui se traduit par :

${\begin{cases}{\frac {|2m-3+p|}{\sqrt {m^{2}+1}}}=2\\{\frac {|-2m+2+p|}{\sqrt {m^{2}+1}}}=1.\end{cases}}$

En élevant les deux membres de chaque équation au carré, on obtient :

${\begin{cases}(2m-3+p)^{2}=4(m^{2}+1)\\(-2m+2+p)^{2}=m^{2}+1.\end{cases}}$

En développant, on obtient après simplification :

${\begin{cases}4mp-12m=6p-p^{2}-5\\3m^{2}+3+p^{2}-8m-4mp+4p=0.\end{cases}}$

En tirant $m$ de la première équation et en portant cette valeur dans la deuxième, on obtient :

${\begin{cases}m={\frac {6p-p^{2}-5}{4p-12}}\\3\left({\frac {6p-p^{2}-5}{4p-12}}\right)^{2}+3+p^{2}-(8+4p){\frac {6p-p^{2}-5}{4p-12}}+4p=0\end{cases}}$

En simplifiant la deuxième équation, nous obtenons :

${\begin{cases}m={\frac {6p-p^{2}-5}{4p-12}}\\35p^{4}-180p^{3}+26p^{2}+604p+27=0\end{cases}}$

Et nous voyons que $p$ est racine de l'équation du quatrième degré suivante :

$35x^{4}-180x^{3}+26x^{2}+604x+27=0$.

Résolution de l'équation.

Pour résoudre l'équation, nous allons utiliser la méthode de Ferrari.

Nous avons une équation de la forme :

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$

avec :

$a=35\qquad b=-180\qquad c=26\qquad d=604\qquad e=27$.

Nous posons :

$x=z-{\frac {b}{4a}}=z+{\frac {9}{7}}$,

ce qui nous donne, tous calculs faits :

$z^{4}-{\frac {2248}{245}}z^{2}+{\frac {3712}{1715}}z+{\frac {191952}{12005}}=0$.

Nous posons ensuite :

$z^{4}=(z^{2}+y)^{2}-2yz^{2}-y^{2}$.

Le premier membre de l'équation précédente s'écrit alors :

${\begin{aligned}z^{4}-{\frac {2248}{245}}z^{2}+{\frac {3712}{1715}}z+{\frac {191952}{12005}}&=(z^{2}+y)^{2}-2yz^{2}-y^{2}-{\frac {2248}{245}}z^{2}+{\frac {3712}{1715}}z+{\frac {191952}{12005}}\\&=(z^{2}+y)^{2}-(2y+{\frac {2248}{245}})z^{2}+{\frac {3712}{1715}}z-y^{2}+{\frac {191952}{12005}}\\&=(z^{2}+y)^{2}-\left[(2y+{\frac {2248}{245}})z^{2}-{\frac {3712}{1715}}z+y^{2}-{\frac {191952}{12005}}\right]\end{aligned}}$

Nous allons maintenant essayer de déterminer y de façon que l’expression entre crochet s'écrive sous forme de carré.

L'expression :

$(2y+{\frac {2248}{245}})z^{2}-{\frac {3712}{1715}}z+y^{2}-{\frac {191952}{12005}}$

peut être considérée comme un polynôme du second degré en z. Elle pourra se mettre sous forme de carré si son discriminant est nul.

Calculons son discriminant :

${\begin{aligned}\Delta &=\left(-{\frac {3712}{1715}}\right)^{2}-4(2y-{\frac {2248}{245}})(+y^{2}-{\frac {191952}{12005}})\\&=-8y^{3}-{\frac {8992}{245}}y^{2}+{\frac {1535616}{12005}}y+{\frac {1739811328}{2941225}}\\&={\frac {-8(245y+1084)(12005y^{2}+1960y-200624)}{2941225}}.\end{aligned}}$

Nous voyons que l’on peut choisir :

$y=-{\frac {1084}{245}}$.

On obtient :

${\begin{aligned}z^{4}-{\frac {2248}{245}}z^{2}+{\frac {3712}{1715}}z+{\frac {191952}{12005}}&=(z^{2}-{\frac {1084}{245}})^{2}+2{\frac {1084}{245}}z^{2}-\left(-{\frac {1084}{245}}\right)^{2}-{\frac {2248}{245}}z^{2}+{\frac {3712}{1715}}z+{\frac {191952}{12005}}\\&=(z^{2}-{\frac {1084}{245}})^{2}-({\frac {2248}{245}}-2{\frac {1084}{245}})z^{2}+{\frac {3712}{1715}}z-\left(-{\frac {1084}{245}}\right)^{2}+{\frac {191952}{12005}}\\&=(z^{2}-{\frac {1084}{245}})^{2}-\left[{\frac {16}{49}}z^{2}-{\frac {3712}{1715}}z+{\frac {215296}{60025}}\right]\\&=(z^{2}-{\frac {1084}{245}})^{2}-\left({\frac {4(35z-116)}{245}}\right)^{2}\\&=\left(z^{2}-{\frac {1084}{245}}+{\frac {4(35z-116)}{245}}\right)\left(z^{2}-{\frac {1084}{245}}-{\frac {4(35z-116)}{245}}\right)\\&=\left(z^{2}-{\frac {4}{7}}z-{\frac {1548}{245}}\right)\left(z^{2}+{\frac {4}{7}}z-{\frac {124}{49}}\right).\end{aligned}}$

Nous avons donc :

• soit $z^{2}-{\frac {4}{7}}z-{\frac {1548}{245}}=0$,
• soit $z^{2}+{\frac {4}{7}}z-{\frac {124}{49}}=0$.

Nous voyons que nous nous sommes ramenés à la résolution de deux équations du second degré.

Pour la première équation, le discriminant est :

$\Delta =\left(-{\frac {4}{7}}\right)^{2}+4{\frac {1548}{245}}={\frac {128}{5}}$

et donc :

$z_{1}={\frac {1}{2}}\left(-{\frac {4}{7}}+{\sqrt {\frac {128}{5}}}\right)$,

$z_{2}={\frac {1}{2}}\left(-{\frac {4}{7}}-{\sqrt {\frac {128}{5}}}\right)$.

Pour la deuxième équation, le discriminant est :

$\Delta =\left({\frac {4}{7}}\right)^{2}+4{\frac {124}{49}}={\frac {512}{49}}$

et donc :

$z_{3}={\frac {1}{2}}\left({\frac {4}{7}}+{\sqrt {\frac {512}{49}}}\right)$,

$z_{4}={\frac {1}{2}}\left({\frac {4}{7}}-{\sqrt {\frac {512}{49}}}\right)$.

Finalement, en utilisant la relation $x=z+{\frac {9}{7}}$, nous obtenons comme valeur de $p$ :

${\begin{cases}p_{1}=1+{\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}\\p_{2}=1-{\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}\\p_{3}={\frac {11+8{\sqrt {2}}}{7}}\\p_{4}={\frac {11-8{\sqrt {2}}}{7}}\end{cases}}$

Compte tenu de la formule $m={\frac {6p-p^{2}-5}{4p-12}}$, les valeurs correspondantes de $m$ sont :

${\begin{cases}m_{1}={\frac {2(10+{\sqrt {10}})}{15}}\\m_{2}={\frac {2(10-{\sqrt {10}})}{15}}\\m_{3}={\frac {4(5+3{\sqrt {2}})}{7}}\\m_{4}={\frac {4(5-3{\sqrt {2}})}{7}}.\end{cases}}$

En conclusion, il y a quatre droites tangentes à la fois au cercle C₁ et au cercle C₂.

Les équations cartésiennes de ces quatre tangentes sont respectivement :

$y={\frac {2(10+{\sqrt {10}})}{15}}x+1+{\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}$

$y={\frac {2(10-{\sqrt {10}})}{15}}x+1-{\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}$

$y={\frac {4(5+3{\sqrt {2}})}{7}}x+{\frac {11+8{\sqrt {2}}}{7}}$

$y={\frac {4(5-3{\sqrt {2}})}{7}}x+{\frac {11-8{\sqrt {7}}}{7}}$

Remarque

Nous invitons le lecteur intéressé à faire une étude plus complète sur la question en associant à tout couple de cercles une équation du quatrième degré et en associant aux racines réelles de l'équation les droites tangentes à la fois aux deux cercles.

On pourra alors constater que :

• si les deux cercles sont distincts, l'équation du quatrième degré aura quatre racines réelles (éventuellement doubles si, par exemple, les cercles sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées), ce qui signifie qu’il y a quatre tangentes aux deux cercles ;
• si les deux cercles s'interceptent selon deux points, l'équation du quatrième degré aura deux racines réelles et deux racines complexes conjuguées, ce qui signifie qu’il existe seulement deux droites qui sont à la fois tangente aux deux cercles ;
• si l'un des deux cercles est à l'intérieur de l'autre, l'équation du quatrième degré aura deux couples de racines complexes conjugués, ce qui signifie qu’il n'existe aucune droite à la fois tangente aux deux cercles.

On pourra aussi constater que si les deux cercles sont tangents, on a une racine double dans l'équation du quatrième degré.

 

Exercice 10-2

À l'instant t = 0, une fusée rouge et une fusée verte sont lancées à partir d'une station spatiale en direction de Alpha du Centaure avec une vitesse initiale nulle. La fusée rouge est lancée avec une accélération de 6 m.s^-2. La fusée verte est lancée dans la même direction avec une accélération de 4 m.s^-2. À quel(s) instant(s), doit-on lancer une troisième fusée dans la même direction avec une accélération de 8 m.s^-2 pour que celle-ci dépasse la fusée rouge 2 secondes après avoir dépassé la fusée verte ?

Solution

Mise en équation du problème.

La fusée rouge a une accélération de 6 m.s^-2. Sa vitesse initiale étant nulle, sa vitesse en fonction du temps est :

$v(t)=6t$.

Sa position en fonction du temps est :

$p(t)=3t^{2}$.

La fusée verte a une accélération de 4 m.s^-2. Sa vitesse initiale étant nulle, sa vitesse en fonction du temps est :

$v(t)=4t$.

Sa position en fonction du temps est :

$p(t)=2t^{2}$.

Soit x l'instant ou la troisième fusée est lancée avec une accélération de 6 m.s^-2.

Sa vitesse étant nulle pour t = x, sa vitesse en fonction du temps est :

$v(t)=8t-8x$.

Sa position étant nulle pour t = x, sa position en fonction du temps est :

$p(t)=4t^{2}-8xt+4x^{2}$.

Soit α, l'instant auquel la troisième fusée rattrape la fusée verte. Pour t = α, les positions des deux fusées sont les mêmes, on a donc :

$4\alpha ^{2}-8x\alpha +4x^{2}=2\alpha ^{2}$,

qui se simplifie sous la forme :

$\alpha ^{2}-4x\alpha +2x^{2}=0$.

Soit β l'instant auquel la troisième fusée rattrape la fusée rouge. Pour t = β, les positions des deux fusées sont les mêmes, on a donc :

$4\beta ^{2}-8x\beta +4x^{2}=3\beta ^{2}$,

qui se simplifie sous la forme :

$\beta ^{2}-4x\beta +2x^{2}=0$.

Comme la troisième fusée rattrape la fusée rouge 2 secondes après avoir rattrapé la fusée verte, on a β = α + 2 et par conséquent la dernière relation devient :

$(\alpha +2)^{2}-4x(\alpha +2)+2x^{2}=0$,

qui se simplifie sous la forme :

$\alpha ^{2}+4\alpha -4x\alpha +2x^{2}-8x+4=0$.

En prenant le résultant des relations suivantes :

${\begin{cases}\alpha ^{2}-4x\alpha +2x^{2}=0\\\alpha ^{2}+4\alpha -4x\alpha +2x^{2}-8x+4=0\end{cases}}$

par rapport à α, on obtient l'équation du quatrième degré suivante :

$x^{4}+40x^{3}-4x^{2}-16x+4=0$.

Résolution de l'équation.

Nous utiliserons la méthode de Lagrange.

Nous avons une équation de la forme :

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$

avec :

$a=1\qquad b=40\qquad c=-4\qquad d=-16\qquad e=4$.

Pour éliminer le monôme de degré 3, nous posons :

$x=z-{\frac {b}{4a}}=z-{\frac {40}{4}}=z-10$.

On obtient après développement et simplification :

$z^{4}-604z^{2}+8064z-30236=0$.

Nous avons une équation de la forme :

$z^{4}+pz^{2}+qz+r=0$

avec :

$p=-604\qquad q=8064\qquad r=-30236$.

Nous devons maintenant résoudre l'équation :

$y^{3}+2py^{2}+(p^{2}-4r)y-q^{2}=0$

qui s'écrit, en remplaçant p, q et r par leurs valeurs :

$y^{3}-1208y^{2}+485760y-65028096=0$.

Une recherche de racines évidentes nous amène à factoriser le premier membre sous la forme :

$(y-432)(y-392)(y-384)=0$.

Les racines de la résolvante sont donc :

${\begin{cases}y_{1}=432\\y_{2}=392\\y_{3}=384.\end{cases}}$

En remarquant que :

${\sqrt {432}}{\sqrt {392}}{\sqrt {384}}={\sqrt {65028096}}=8064=q$,

comme nous devons avoir :

${\sqrt {y_{1}}}\times {\sqrt {y_{2}}}\times {\sqrt {y_{3}}}=-q$,

nous changeons notre choix des racines et nous prenons par exemple :

${\begin{cases}{\sqrt {y_{1}}}={\sqrt {432}}=12{\sqrt {3}}\\{\sqrt {y_{2}}}={\sqrt {392}}=14{\sqrt {2}}\\{\sqrt {y_{3}}}=-{\sqrt {384}}=-8{\sqrt {6}}.\end{cases}}$

Nous en déduisons que les racines de l'équation :

$z^{4}-604z^{2}+8064z-30236=0$

sont :

${\begin{cases}z_{1}={\frac {1}{2}}(12{\sqrt {3}}+14{\sqrt {2}}-8{\sqrt {6}})=6{\sqrt {3}}+7{\sqrt {2}}-4{\sqrt {6}}\\z_{2}={\frac {1}{2}}(12{\sqrt {3}}-14{\sqrt {2}}+8{\sqrt {6}})=6{\sqrt {3}}-7{\sqrt {2}}+4{\sqrt {6}}\\z_{3}={\frac {1}{2}}(-12{\sqrt {3}}+14{\sqrt {2}}+8{\sqrt {6}})=-6{\sqrt {3}}+7{\sqrt {2}}+4{\sqrt {6}}\\z_{4}={\frac {1}{2}}(-12{\sqrt {3}}-14{\sqrt {2}}-8{\sqrt {6}}=-6{\sqrt {3}}-7{\sqrt {2}}-4{\sqrt {6}}\end{cases}}$

et en reportant dans la relation $x=z-10$, nous pouvons conclure que les racines de l'équation :

$x^{4}+40x^{3}-4x^{2}-16x+4=0$

sont :

${\begin{cases}x_{1}=6{\sqrt {3}}+7{\sqrt {2}}-4{\sqrt {6}}-10\approx 0{,}494\\x_{2}=6{\sqrt {3}}-7{\sqrt {2}}+4{\sqrt {6}}-10\approx 0{,}291\\x_{3}=-6{\sqrt {3}}+7{\sqrt {2}}+4{\sqrt {6}}-10\approx -0{,}695\\x_{4}=-6{\sqrt {3}}-7{\sqrt {2}}-4{\sqrt {6}}-10\approx -40{,}090.\end{cases}}$

Les deux dernières racines étant négatives, elles sont à rejeter car aux instants négatifs, les fusées n'étaient pas encore lancées.

En conclusion, on doit lancer une troisième fusée, soit à l'instant 0,291 seconde, soit à l'instant 0,494 seconde dans la même direction que les deux premières avec une accélération de 8 m.s^-2 pour que cette troisième fusée dépasse la fusée rouge 2 secondes après avoir dépassé la fusée verte.

 

Exercice 10-3

On dispose de deux boules de même rayon qui ne flottent pas. On dispose aussi de deux récipients cylindriques. Le premier des deux récipients a un rayon supérieur de deux centimètres au rayon des boules. Le deuxième récipient a un rayon supérieur de trois centimètres au rayon des boules. On remplit d'eau les deux récipients à une hauteur supérieure au diamètre des boules. On veille à ce que la hauteur d'eau dans les deux récipients soit rigoureusement la même. On met ensuite les deux boules respectivement dans chacun des deux récipients. Après cette opération, on constate une différence de niveau d'eau entre les deux récipients de un centimètre. Calculer le rayon des boules.

Mise en équation du problème

Soit x le rayon commun des deux boules. Soit h l’augmentation du niveau de l'eau dans le premier récipient lorsqu'on y met une des deux boules. Dans le deuxième récipient l’augmentation du niveau sera alors de h – 1. Écrivons que le volume des boules est égal au volume d'eau supplémentaire apparaissant dans les récipients lorsqu'on y plonge les boules. On aura respectivement :

${\begin{cases}{\frac {4}{3}}\pi x^{3}=\pi (x+2)^{2}\times h\\{\frac {4}{3}}\pi x^{3}=\pi (x+3)^{2}\times (h-1).\end{cases}}$

Après simplification par $\pi$, ces deux relations s'écrivent :

${\begin{cases}h(x+2)^{2}={\frac {4}{3}}x^{3}\\{\frac {4}{3}}x^{3}+(x+3)^{2}=h(x+3)^{2}.\end{cases}}$

En faisant le produit membre à membre, h se simplifie et l'on obtient :

$(x+2)^{2}\left[{\frac {4}{3}}x^{3}+(x+3)^{2}\right]={\frac {4}{3}}x^{3}(x+3)^{2}$.

En développant partiellement, on obtient :

$(x^{2}+4x+4)\left[{\frac {4}{3}}x^{3}+x^{2}+6x+9\right]={\frac {4}{3}}x^{3}(x^{2}+6x+9)$.

En finissant de développer et en mettant tous les termes dans le premier membre, on obtient l'équation du quatrième degré suivante :

$5x^{4}-10x^{3}-111x^{2}-180x-108=0$.

Pour éliminer le terme de degré 3, posons $x=z+{\frac {1}{2}}$. L'équation devient :

$5\left(z^{4}+{\frac {3}{2}}z^{2}+{\frac {1}{2}}z+{\frac {1}{16}}\right)-10\left({\frac {3}{2}}z^{2}+{\frac {3}{4}}z+{\frac {1}{8}}\right)-111\left(z^{2}+z+{\frac {1}{4}}\right)-180\left(z+{\frac {1}{2}}\right)-108=0$

soit, en divisant par 5 et en regroupant par degrés :

$z^{4}+pz^{2}+qz+r=0$

avec

$p={\frac {3}{2}}-3-{\frac {111}{5}}=-{\frac {3\times 79}{10}},\quad q={\frac {1}{2}}-{\frac {3}{2}}-{\frac {111}{5}}-36=-{\frac {8\times 37}{5}},\quad r={\frac {1}{16}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {111}{20}}-18-{\frac {108}{5}}={\frac {9\times 13\times 31}{80}}$.

 

Résolution de l'équation

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 10-4

Position de l'échelle.

Calculer la hauteur h, du sol au point de contact avec le mur, d'une échelle positionnée comme l'indique la figure ci-contre.

Solution

Mise en équation du problème.

En notant d la base du grand triangle,

$h^{2}+d^{2}=4^{2}$ et ${\frac {d}{h}}={\frac {1}{h-1}}$

donc en éliminant $d$ :

$h^{2}((h-1)^{2}+1)=16(h-1)^{2}$,

soit en développant :

$h^{4}-2h^{3}-14h^{2}+32h-16=0$.

Résolution de l'équation.

Les deux solutions $h>1$ (les seules pertinentes physiquement) se déduisent l'une de l'autre en intervertissant $d$ et $h$ (on le voit simplement physiquement, mais aussi sur les équations car ${\frac {d}{h}}={\frac {1}{h-1}}\Leftrightarrow dh=d+h$ donc les deux solutions $h<1$ se déduisent de même l'une de l'autre).

Ceci permet de factoriser et résoudre :

$h^{4}-2h^{3}-14h^{2}+32h-16=(h^{2}-S_{+}h+S_{+})(h^{2}-S_{-}h+S_{-})$ avec $S_{\pm }=1\pm {\sqrt {17}}$

et les deux solutions $h>1$, associées à $S_{+}$, sont

$h_{\pm }={\frac {1+{\sqrt {17}}\pm {\sqrt {14-2{\sqrt {17}}}}}{2}}$,

soit

$h_{+}\approx 3{,}76$ et $h_{-}\approx 1{,}36$.