Énoncé mathématique des principes de la statique/Principe fondamental de la statique par un solide soumis à n forces

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Théorème

La somme des vecteurs forces est égale au vecteur zéro. La somme des moments des forces est égale au vecteur zéro.

$\sum {\vec {R}}={\vec {0}}$

$\sum {\vec {{\mathcal {M}}_{A}}}={\vec {0}}$

Exemple

$(G,{\vec {P}})$ est le poids de la voiture (2,1 kN), G le centre de gravité. Déterminer les actions exercées en A et B entre les roues et le sol.

Méthode complet

Soit le sol objet (0) et la voiture objet (1).

On isole la voiture (1)

Bilan des actions mécaniques extérieures :

${\begin{Bmatrix}{\mathcal {T}}_{\vec {P}}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0&0\\-2,1\times 10^{4}&0\\0&0\end{Bmatrix}}_{G,R}$

${\begin{Bmatrix}{\mathcal {T}}_{0\rightarrow 1}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0&0\\y_{A}&0\\0&0\end{Bmatrix}}_{A,R}={\begin{Bmatrix}0&0\\y_{B}&0\\0&0\end{Bmatrix}}_{B,R}$

Théorème

La somme des vecteurs forces est égale au vecteur zéro. La somme des moments des forces est égale au vecteur zéro.

$-2,1\times 10^{4}+y_{A}+y_{B}=0$

Formule de changement de point

On connaît une action en G et on souhaite savoir ce qu'elle devient en A.

${\vec {{\mathcal {M}}_{A}}}={\vec {{\mathcal {M}}_{G}}}+{\vec {AG}}\wedge {\vec {R}}$

${\vec {{\mathcal {M}}_{A}}}={\vec {{\mathcal {M}}_{G}}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}+{\vec {AG}}{\begin{pmatrix}1,65\\0\\0\end{pmatrix}}\wedge {\vec {R}}{\begin{pmatrix}0\\-2,1\times 10^{4}\\0\end{pmatrix}}$

${\vec {{\mathcal {M}}_{A}}}{\begin{pmatrix}0\\0\\-3,465\times 10^{4}\end{pmatrix}}$

donc

${\begin{Bmatrix}{\mathcal {T}}_{\vec {P}}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0&0\\-2,1\times 10^{4}&0\\0&-3,465\times 10^{4}\end{Bmatrix}}_{G,R}$

On connaît une action en B et on souhaite savoir ce qu'elle devient en A.

${\vec {{\mathcal {M}}_{A}}}={\vec {{\mathcal {M}}_{B}}}+{\vec {AB}}\wedge {\vec {R}}$

${\vec {{\mathcal {M}}_{A}}}={\vec {{\mathcal {M}}_{B}}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}+{\vec {AB}}{\begin{pmatrix}2,6\\0\\0\end{pmatrix}}\wedge {\vec {R}}{\begin{pmatrix}0\\y_{B}\\0\end{pmatrix}}$

${\vec {{\mathcal {M}}_{A}}}{\begin{pmatrix}0\\0\\2,6y_{B}\end{pmatrix}}$

donc

${\begin{Bmatrix}{\mathcal {T}}_{0\rightarrow 1}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0&0\\y_{B}&0\\0&2,6y_{B}\end{Bmatrix}}_{B,R}$

Résolution

Pour résoudre $y_{A}$ et $y_{B}$, on utilise un système d'équations :

${\begin{cases}-2,1\times 10^{4}+y_{A}+y_{B}=0\\-3,465\times 10^{4}+2,6y_{B}=0\end{cases}}$

${\begin{cases}y_{A}=7,67\times 10^{3}\\y_{B}=1,333\times 10^{4}\end{cases}}$

Conclusion

${\begin{Bmatrix}{\mathcal {T}}_{0\rightarrow 1}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0&0\\7,67\times 10^{3}&0\\0&0\end{Bmatrix}}_{A,R}={\begin{Bmatrix}0&0\\1,333\times 10^{4}&0\\0&0\end{Bmatrix}}_{B,R}$

donc

• A = 7,67 kN
• B = 13,33 kN

Méthode rapide

On isole la voiture (1)

Soit I le point d'intersection de la droite (AB), donc AI = 1,65 m et AB = 2,6 m.

Théorème

La somme des vecteurs forces est égale au vecteur zéro. La somme des moments des forces est égale au vecteur zéro.

Résolution

${\begin{cases}A+B-2,1\times 10^{4}=0\\2,6\times B=1,65\times 2,1\times 10^{4}\end{cases}}$

${\begin{cases}A=7,67\times 10^{3}\\B=1,333\times 10^{4}\end{cases}}$

Conclusion

• A = 7,67 kN
• B = 13,33 kN