Électrostatique des conducteurs/Exercices/Condensateurs

Condensateur à diélectriques

Les armatures d'un condensateur sont deux sphères concentriques de rayons a et 3a. Entre ces deux conducteurs se trouvent deux couches diélectriques :

• une couche de permittivité diélectrique ε dans l'espace compris entre les sphères de rayons a et 2a
• une couche de permittivité diélectrique 2ε dans l'espace compris entre les sphères de rayons 2a et 3a

Quelle est la capacité de ce condensateur ?

Solution

• $r\in [a,2a]~:~V(r)={\frac {Q}{4\pi \epsilon }}\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)+V_{1}$
• $r\in [2a,3a]~:~V(r)={\frac {Q}{8\pi \epsilon r}}+\mathrm {cte}$
• Recollement en 2a : $V(r)={\frac {Q}{8\pi \epsilon }}\left({\frac {1}{r}}-{\frac {3}{2a}}\right)+V_{1}$
• $C={\frac {Q}{V_{1}-V_{2}}}={\frac {48}{7}}\pi \epsilon a$