Introduction à l'électricité/Dipôle résistif, résistances

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Aux bornes de ce dipôle, la tension sera proportionnelle à la la valeur de la résistance exprimée en ohms (Ω) multiplié par le courant qui l’a traverse.

$U(t)=R\cdot i(t)$

$V=\Omega \cdot A$

où R = 100 Ω

iG(t) (A)	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1
UR(t) (V)	0	20	40	60	80	100

Association série de résistances

Les résistances sont connectés les unes à la suite des autres.

est équivalent à

Loi des mailles : M1

1. $U_{AB}-U_{R_{1}}-U_{R_{2}}-U_{R_{3}}=0$
   $U_{AB}=U_{R_{1}}+U_{R_{2}}+U_{R_{3}}$

Loi d'Ohms

2. $U_{R_{1}}=R_{1}\cdot i$
3. $U_{R_{2}}=R_{2}\cdot i$
4. $U_{R_{3}}=R_{3}\cdot i$

(1) + (2) + (3) + (4)

5. $U_{AB}=R_{1}\cdot i+R_{2}\cdot i+R_{3}\cdot i$
   $U_{AB}=i\cdot (R_{1}+R_{2}+R_{3})$

Loi d'Ohms

6. $U_{AB}=R_{\text{éq}}\cdot i$

Par identification : on en réduit que :

7. $R_{\text{éq}}=R_{1}+R_{2}+R_{3}$

(5) + (6)

${\frac {U_{AB}}{i}}=R_{1}+R_{2}+R_{3}=R_{\text{éq}}$

La résistance équivalente, de résistance en série, est égale à la somme de ces résistances.

$R_{\text{éq}}=\sum _{n=1}^{3}R_{n}$

Association parallèle ou dérivation de résistances

Les résistances ont leurs bornes connectés entre elles.

est équivalent à

Loi d'Ohms

1. $U_{AB}=R_{\text{éq}}\cdot i$
   $i={\frac {U_{AB}}{R_{\text{éq}}}}$
   
2. $i=i_{1}+i_{2}+i_{3}$
3. $U_{R_{1}}=R_{1}\cdot i_{1}$
   1. $i_{1}={\frac {U_{R_{1}}}{R_{1}}}$
   2. $i_{2}={\frac {U_{R_{2}}}{R_{2}}}$
   3. $i_{3}={\frac {U_{R_{3}}}{R_{3}}}$

Loi des mailles: M1, M2, M3

4. $M_{AB}-U_{R_{1}}=0$
1. $M_{AB}=U_{R_{1}}$
2. $M_{AB}=U_{R_{2}}$
3. $M_{AB}=U_{R_{3}}$

(3) + (4)

$i_{1}={\frac {U_{R_{1}}}{R_{1}}}={\frac {U_{AB}}{R_{1}}}$

$i_{2}={\frac {U_{R_{2}}}{R_{2}}}={\frac {U_{AB}}{R_{2}}}$

$i_{3}={\frac {U_{R_{3}}}{R_{3}}}={\frac {U_{AB}}{R_{3}}}$

(1) + (2)

$i=i_{1}+i_{2}+i_{3}$

$i={\frac {U_{AB}}{R_{1}}}+{\frac {U_{AB}}{R_{2}}}+{\frac {U_{AB}}{R_{3}}}={\frac {U_{AB}}{\cdot }}({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}})$

$i=U_{AB}\cdot {\frac {1}{R_{\text{éq}}}}={\frac {U_{AB}}{\cdot }}({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}})$

${\frac {1}{R_{\text{éq}}}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}$

$R_{\text{éq}}={\frac {1}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}}}$

La résistance équivalente de résistances en parallèle (ou dérivation) est égale à l'inverse de la somme des inverses.