Utilisateur:RM77/Exos

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Sommaire

[modifier] Maths

[modifier] Niveau 12, pour se mettre en condition

  1. Trouver trois nombres entiers naturels a,b,c, distincts ou non, tels que :
    \frac{1}{4}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}
  2. Déterminer tous les nombres entiers naturels n tels qu'il existe n nombres entiers naturels x1,x2,...,xn distincts ou non, vérifiant :
    1=\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+...+\frac{1}{x_n^2}

[modifier] Niveau 12.5, fonctions usuelles

[modifier] Ex 1

Soit f la fonction définie par f(x)=\ln{(\cos{x})}\,

  1. Déterminer l'ensemble de définition D_f\, de f.
  2. Expliquer pourquoi on peut réduire l'étude de f à I=\left ] -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right [.
  3. Déterminer les limites de f aux bornes de I.
  4. Étudier les variations de f.

[modifier] Correction rapide

  • Df est l'union des intervalles de la forme In = ]-π/2 + 2kπ ; +π/2 + 2kπ [ avec k entier relatif ;
  • La fonction est périodique et se reproduit à l'identique sur chacun des In, donc en particulier sur I0 = I ;
  • moins l'infini (limite de ln en 0) ;
  • Pour tout x dans I, |cos(x)| <=1 donc ln(cos(x))<=0, donc la fonction est négative ou nulle. De plus, ln est croissante sur R, cos est croissante sur la partie négative de I, décroissante sur sa partie positive. Ainsi : f croît de moins l'infini (en x = -π/2) à 0 (en x = 0, tangente hoizontale) puis décroît jusqu'à moins l'infini (en x = +π/2). On obtient les variations de f en reproduisant ces variations sur tous les In.

[modifier] Ex 2

Résoudre dans \mathbb{R} l'équation (E):x^{\frac{1}{16}}\le 8x^{\frac{11}{6}}

[modifier] Correction rapide

Remarquons que x = 0 est solution.

On cherche alors les solutions positives (x > 0) : en divisant des deux côtés par x11/6, on est amené à résoudre l'équation :

x^{\frac{1}{16} - \frac{11}{16}} \leq 8

Et on a x^{\frac{1}{16} - \frac{11}{16}} = x^{-\frac{10}{16}} = x^{-\frac58} = \left(\frac{1}{x^5}\right)^8. L'équation de départ se ramène alors à :

\frac{1}{x^5} \leq 8^8

ie :

x^5 \geq \frac{1}{8^8}

Dont les solutions réelles positives sont les réels supérieurs à l'unique racine cinquième réelle positive de 1/(8^8), que l'on note u.

De même, les solutions réelles négatives sont les réels inférieurs à l'unique racine cinquième réelle négative de 1/(8^8), à savoir -u.

Conclusion : les solutions sont les réels de l'ensemble ]-infini,-u] U {0} U [+u, +infini[.

[modifier] Ex 3

Déterminer la limite en +\infty de f définie par f(x)=\frac{x^3+1}{(x+2)e^x}

[modifier] Correction rapide

Zéro.

[modifier] Niveau 13, fonctions trigonométriques réciproques

  1. Résoudre (E_1)~:~\arccos x=\arcsin \frac13+\arccos \frac14
  2. Résoudre \arcsin{(\tan x)}=x\,
  3. Résoudre (S)~:~\begin{cases} \cosh x+\cosh y=\frac{35}{12} \\ \sinh x+\sinh y=\frac{25}{12}\end{cases}

[modifier] Correction Exo 1

\begin{align} \cos\left(\arcsin \frac13+\arccos \frac14\right) &=\cos\left(\arcsin \frac13\right)\cos\left(\arccos \frac14\right)-\sin\left(\arcsin \frac13\right)\sin\left(\arccos \frac14\right)\\ &=\frac14\sqrt{1-\left(\frac13\right)^2}-\frac13\sqrt{1-\left(\frac14\right)^2}\\ &=\frac{\sqrt2}6-\frac{\sqrt{15}}{12} \end{align}

La solution de (E) est alors \frac{\sqrt2}6-\frac{\sqrt{15}}{12}.


Correction Exo 3 : transféré à Trigonométrie hyperbolique/Exercices/Exercices

Soit (x,y)\in\R^2

\begin{cases}\cosh x+\cosh y=\frac{35}{12}\\\sinh x+\sinh y=\frac{25}{12}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}e^x+e^y=5\\e^{-x}+e^{-y}=\frac56\end{cases}

On pose X=e^x\, et Y=e^y\,

\begin{align} (S) &\Leftrightarrow \begin{cases}X+Y=5\\\frac1X+\frac1Y=\frac56\end{cases}\\ &\Leftrightarrow \begin{cases}X+Y=5\\\frac{X+Y}{XY}=\frac56\end{cases}\\ &\Leftrightarrow \begin{cases}X+Y=5\\XY=6\end{cases}\\ &\Leftrightarrow \begin{cases}X=2\\Y=3\end{cases}\textrm{~ou~}\begin{cases}X=3\\Y=2\end{cases}\\ \end{align}
L'ensemble des solutions de (S) est alors \{(\ln(2),\ln(3)),(\ln(3),\ln(2))\}\,.
 

[modifier] Niveau 12.5, géométrie 2D

  1. Soit ABC un triangle équilatéral et M un point à l'intérieur de ABC. Montrer que la somme des distances de M aux trois côtés de ABC de dépend pas de M.
  2. Soient A,B,C,D,P cinq points du plan tels que ABDC soit un parallélogramme. La parallèle à (AB) menée par P coupe (AD) en E et (BC) en F ; la parallèle à (AD) menée par P coupe (AB) en G et (CD) en H. Montrer que les droites (EH), (FG) et (AC) sont concourantes et parallèles.

[modifier] Niveau 13, coniques

coming soon

[modifier] Niveau 13, arcs paramétrés

  1. \begin{cases}x(t)=t-\frac{1}{t} \\ y(t)=t-\frac{1}{2}\ln{(2e^t -1)}\end{cases} -> Ensemble de définition, étude des asymptotes, directions asymptotiques.
  2. f:t\mapsto (\cos t,\sin{2t}), t\in [-\pi,\pi] -> étude de f

[modifier] Niveau 13, géométrie 3D

coming soon

[modifier] Niveau 13, équa diffs et analyse

  1. Résoudre (E):y'+\frac{3x+4}{2x(x+1)}y=\frac{1}{\sqrt{x+1}}
  2. Montrer que si f,g surjectives alors g\circ f surjective.
    Montrer que si g\circ f injective alors f injective.
    Montrer que si f,g injectives alors g\circ f injective.
    Montrer que si g\circ f surjective, alors g surjective.

[modifier] Équation différentielle

Nuvola apps important.svg Ne tient pas encore compte des intervalles de définition (recollements, etc...)

L'équation homogène associée à (E) est (H):y'=-\frac{3x+4}{2x(x+1)}y

\begin{align} \int\frac{3x+4}{2x(x+1)}\mathrm dx&=\int\frac2x-\frac1{2(x+1)}\mathrm dx\\ &=2\ln(x)-\frac12\ln{x+1}+\gamma \end{align}
\exp\left(-\int\frac{3x+4}{2x(x+1)}\mathrm dx\right)=\frac{\sqrt{x+1}}{x^2}
\mathcal S_H=\left\{A\frac{\sqrt{x+1}}{x^2}|A\in\R\right\}

Solution particulière : Variation de la constante :

f(x)=A(x)\frac{\sqrt{x+1}}{x^2}
A'(x)=\frac{x^2}{x+1}
A(x)=\ln(x+1)+\frac{x^2}2-x
\mathcal S_E=\left\{\left(\ln(x+1)+\frac{x^2}2-x+C\right)\frac{\sqrt{x+1}}{x^2}|A\in\R\right\}

Restent à étudier les intervalles de validité et les recollements

[modifier] Niveau 13

  1. Cours : Démontrer le théorème suivant Toute fonction admettant une limite finie en un point est bornée au voisinage de ce point.
  2. Soit f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} tq \forall (x,y), \left (f(x)-f(y)\right ) \left (g(x)-g(y)\right )=0. Mq l'une au moins de ces fonctions est constante.
  3. Soit f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} tq f\circ f est croissante et f\circ f\circ f est strictement décroissante. Mq f est strictement décroissante.

[modifier] Question 3

On suppose que f n'est pas strictement décroissante.

  • \exists(x,y)\in\R^2,~\begin{cases}x<y\\f(x)\leq f(y)\end{cases}.
  • f\circ f est croissante, donc (f\circ f)(f(x))\leq (f\circ f)(f(y))
  • Donc (f\circ f \circ f)(x)\leq (f\circ f \circ f)(y)
  • Or, f\circ f\circ f est strictement décroissante, donc (f\circ f \circ f)(x)>(f\circ f \circ f)(y), ce qui est absurde.
f est strictement décroissante.

[modifier] Niveau 13

Soit f:\R\mapsto\R continue en 0 telle que \forall x\in\R,~f(x)=f(2x). Mq f est constante.

[modifier] Correction (très très) rapide

Soit x\in\R.

\forall n\in\mathbb N^*,~f(x)=f\left(\frac x{2^n}\right)

f est continue en 0 donc \lim_{n\rightarrow+\infty} f\left(\frac x{2^n}\right)=f(0), donc \forall x\in\R,~f(x)=f(0).

Commentaire de Sharayanan (d · c · b) : mmh... pas tout à fait convaincu de cette affaire ! La première étape notamment... sauf si on corrige un tout petit détail (et là, ça marche :-))
C'est moche un clavier qui fourche. C'est vrai que x c'est mieux :-) Xzapro4 5 février 2008 à 07:40 (UTC)
  • Soit x un réel, alors f(x) = f(x/2) = ... = f(x/2n) pour tout entier naturel n (nul ou pas, d'ailleurs) par une récurrence triviale. Ainsi, par caractérisation séquentielle de la limite, f étant continue en 0, f(0) = lim en 0 de f(x/2n) = f(x). Conclusion, f est constante. Poil à la menthe. Sharayanan (blabla) 4 février 2008 à 19:01 (UTC)

[modifier] Niveau 13

  1. Déterminer les fonctions f:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R} dérivables tq \forall(x,y)\in \mathbb{R}^2,f(x+y)=f(x+f(y)).
  2. Soit f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R},x\mapsto \arcsin{(1-x^3)}. Mq f est de classe C^1\, et tracer sa courbe représentative.
Correction exercice 2 transféré sur Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Continuité, dérivabilité

On a sans problème f\in\mathcal C^1(]0,1]). Le souci vient de la régularité en 0.

Soit x\in]0,1]:

\begin{align} f'(x)&=-3x^2\arcsin'(1-x^3)\\ =-3x^2\frac1{\sqrt{1-(1-x^3)^2}}\\ =-\frac{3x^2}{\sqrt{x^3(2-x^3)}}\\ \end{align}

f'(x)\underset{x\rightarrow0}{\sim}-\frac{3x^2}{\sqrt2x^{\frac32}} \underset{x\rightarrow0}{\sim}\frac3{\sqrt2}\sqrt x

Donc f' a une limite finie en 0, donc f\in\mathcal C^1([0,1])

 

[modifier] Niveau 13

Calculer \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}3} \frac{\sin{\left (x-\frac{\pi}{3}\right )}}{1-2\cos x}

Solution, transférée sur Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Calcul de limites

\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}3} \frac{\sin{\left (x-\frac{\pi}{3}\right )}}{1-2\cos x}= \lim_{u\rightarrow0} \frac{\sin(u)}{1-2\cos\left(u+\frac\pi 3\right)}

Soit u\in\R

\begin{align} 1-2\cos\left(u+\frac\pi 3\right)&=1-2\left(\cos(u)\frac12-\sin(u)\frac{\sqrt3}2\right)\\ &=1-\cos(u)+\sqrt3\sin(u)\\ \end{align}

Donc :

  • 1-2\cos\left(u+\frac\pi 3\right)\underset{u\rightarrow0}{\sim}\sqrt3u
  • \sin(u)\underset{u\rightarrow0}{\sim}u

Finalement \lim_{u\rightarrow0} \frac{\sin(u)}{1-2\cos\left(u+\frac\pi 3\right)}=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}3} \frac{\sin{\left (x-\frac{\pi}{3}\right )}}{1-2\cos x}=\frac1{\sqrt3}

 

[modifier] Niveau 13

  1. Soit P un polynôme à coefficients réels de degré supérieur ou égal à 2. Mq si les racines de P sont toutes réelles et simples, alors il en est de même pour P'. (??? énoncé peut être incomplet)
  2. Exercice 2 :
    1. Soit a\in ]0,\pi [\,. Etudier la suite des sinus itérés de a définie par u0 = a;un + 1 = sin(un)
    2. En admettant que \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x-x}{x^3} = -\frac{1}{6}, mq la suite (v_n) = \frac{1}{u_{n+1}^2}-\frac{1}{u_n^2} est convergente et donner sa limite.

[modifier] Remarque

Le résultat de la première question est un classique (l'énoncé est complet). Ça doit se démontrer par récurrence. En voici une démonstration que je pense complète :

  • Pour plus de simplicité, notons p la fonction polynôme associée à P et n = deg(P). Alors p est, au moins, de classe C1 sur l'ensemble des réels.
  • L'hypothèse n ≥ 2 a pour conséquence l'existence d'au moins deux zéros de p. Soit alors a1 et a2 deux zéros consécutifs de p. La restriction de p à l'intervalle \left[ a_1; \, a_2 \right] est encore C1 et p(a1) = p(a2) = 0. On applique donc le théorème de Rolle : il existe un réel b dans l'intervalle ouvert tel que p’(b) = 0. En particulier, b n'est pas racine de P donc est nécessairement racine simple de P’.
  • Enfin, on a n - 1 intervalles de la forme précédente, d'où autant de points d'annulation de p’. Il ne saurait y en avoir plus, car deg(P’) = n - 1 ≥ 1.

Conclusion : nous avons montré que, lorsque P est un polynôme à coefficients réels, de degré supérieur ou égal à 2, dont les racines sont toutes réelles et simples, alors les racines de P’ sont toutes réelles et simples.

[modifier] Niveau 13

Soient x_1,...,x_n\, des réels positifs. Mq \left (\sum_{i=1}^n x_i \right )^2 \le n\sum_{i=1}^n x_i^2

Correction transférée sur Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Convexité

f:x\mapsto x^2 est convexe et \sum_{i=1}^n\frac1n=1

Donc f\left(\sum_{i=1}^n\frac{x_i}n\right)\leq\sum_{i=1}^n\frac1nf(x_i)

ie \frac1{n^2}\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\leq\frac1n\sum_{i=1}^nx_i^2

D'où le résultat

 

[modifier] Niveau 13

Soit f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R} continue sur [0,1] et dérivable en 0. On pose u_n=\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n^2}\right)-nf(0),~n\in\mathbb N^*.

  1. On pose v_n=\frac{n(n+1)}{2n^2}f'(0). Déterminer \lim_{n\rightarrow +\infty} v_n
  2. Mq : |u_n-v_n| \le \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n k\left|\frac{f\left(\frac{k}{n^2}\right) -f(0)}{\frac{k}{n^2}}-f'(0)\right |
  3. Mq \lim_{n\rightarrow +\infty} (u_n-v_n)=0 (utiliser les \epsilon\,) puis en déduire \lim u_n
  4. Application : déterminer \lim_{n\rightarrow +\infty} \prod_{k=1}^n \left (1+\frac{k}{n^2}\right )

[modifier] Correction

1. \lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=\frac{f'(0)}2

2. Soit n\in\mathbb N^*

On remarque que v_n=\frac{n(n+1)}2\frac{f'(0)}{n^2}=\sum_{k=1}^nk\frac{f'(0)}{n^2}
Donc \begin{align}u_n-v_n&=\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n^2}\right)-nf(0)-\sum_{k=1}^nk\frac{f'(0)}{n^2}\\ &=\sum_{k=1}^n\left(f\left(\frac{k}{n^2}\right)-k\frac{f'(0)}{n^2}-f(0)\right)\\ &=\sum_{k=1}^n\frac k{n^2}\left(\frac{f\left(\frac{k}{n^2}\right)}{\frac k{n^2}}-f'(0)-\frac{f(0)}{\frac k{n^2}}\right)\\ \end{align}
Donc, par l'inégalité triangulaire
\begin{align}|u_n-v_n|&\leq\sum_{k=1}^n\frac k{n^2}\left|\frac{f\left(\frac{k}{n^2}\right)-f(0)}{\frac k{n^2}}-f'(0)\right|\\ \end{align}
D'où le résultat.

[modifier] Niveau 13 : convexité

Mq \ln{\left (\frac{x_1+x_2}{2}\right )} \ge \sqrt{\ln x_1\ln x_2}

[modifier] Correction rapide

Inégalité de Jensen appliqué à ln (concave). ou plus simplement une inégalité de concavité obtenue en partant de la définition (la courbe est au dessus de toute ligne joignant deux de ses points).

[modifier] Niveau 13 : convexité et dérivée n-ième

  1. Donner la dérivée n-ième de f:x\mapsto x^2(x+1)^n
  2. Démontrer Si g convexe, f convexe et croissante, alors f\circ g convexe.

[modifier] Correction partielle exo 2

Si f et g sont 2 fois dérivables : (f\circ g)''=g''.(f'\circ g)+g'^2.(f''\circ g)\geq 0 grâce aux hypothèses de l'énoncé Sinon... c'est moins marrant

[modifier] Niveau 13 : convexité et dérivée n-ième

Soit f(x)=-\ln{(\ln x)}\,. Mq f convexe pour x>1, et en déduire \forall a>1,\forall b>1, \ln{\left (\frac{a+b}{2}\right )} \ge \sqrt{\ln a\ln b}.

[modifier] Niveau 13 : groupes

A venir...

[modifier] Niveau 13 : anneaux

A est un anneau tq \forall (a,b)\in A^2, \begin{cases} ab+ba=1 \\ a^2b+ba^2=a\end{cases}. Montrer :

  1. a^2b=ba^2\,
  2. 2aba=a\,
  3. que a est inversible d'inverse 2b

[modifier] Correction rapide

on note (1) la première info, (2) la seconde.

a × (1) : a²b + aba = a donc a²b = a - aba

D'autre part,

(1) × a : aba + ba² = a donc ba² = a - aba

Ainsi, a²b = ba².

Sommons les deux équations précédentes :

a²b + ba² = 2a - 2aba = a (d'après 2)

donc 2aba = a.

Pour la dernière, ça semble découler de la précédente, mais je vois pas comment le faire proprement (et j'ai pas tellement envie de chercher Mort de rire).

[modifier] Niveau 13 : anneaux

(A,+,.)\, est un anneau commutatif. On note B=\{ x\in A, x^2=x\}

  1. Mq \forall x\in B, 1-x\in B
  2. Soit la lci \circ\, définie par \forall x\in B, \forall y\in B, x\circ y=x+y-2xy. Mq (B,\circ ,.)\, est un anneau commutatif unitaire.

[modifier] Niveau 13 : anneau booléen et divisibilité

  1. Soit A un anneau tq \forall x\in A, x^2=x
    1. Mq \forall x\in A, x+x=0
    2. En déduire que A est commutatif.
  2. Divisibilité :
    1. Mq \forall n\in \mathbb{N}^*, 40^n.n!\,\,|\,\,(5n)!
    2. Trouver les n\in \mathbb{Z} tq n^4+4n^3+6n^2+4n+5\, soit premier.


Solution exo 1 transférée sur Anneau (mathématiques)/Exercices/Exercices

1. Soit x\in A.

\begin{align} 1+x&=(1+x)^2\\&=1+x+x+x^2\\&=(1+x)+x+x \end{align}

Donc \forall x\in A,~x+x=0

2. Soit (x,y)\in A^2

\begin{align}x+y&=(x+y)^2\\&=x^2+xy+yx+y^2\\&=x+y+xy+yx\end{align}

Donc xy = − yx. Or, d'après la question 1, \forall t\in A,t=-t

Donc \forall(x,y)\in A^2,~xy=yx, donc A est commutatif.

 

[modifier] Niveau 13 : anneaux

Soit \alpha\, l'une des racines complexes du polynôme X^2+X+2\, (qu'il est inutile de calculer explicitement). On désique par \mathbb{Z}[\alpha ] l'ensemble des nombres complexes de la forme p+q\alpha \, où (p,q)\in \mathbb{Z}^2.

  1. Mq \mathbb{Z}[\alpha ] est un sous anneau de \mathbb{C}
  2. Calculer \alpha +\bar{\alpha }\, et \alpha \bar{\alpha }\,
  3. Mq \forall z\in \mathbb{Z}[\alpha ], \bar{z}\in \mathbb{Z}[\alpha ]
  4. Mq \forall z\in \mathbb{Z}[\alpha ], z\bar{z}\in \mathbb{N}
  5. Mq l'élément p+q\alpha \, est inversible dans \mathbb{Z}[\alpha ] ssi p^2+2q^2-pq=1\,
  6. Mq l'égalité précédente n'a pas de solution tq pq<0\,
  7. Mq l'égalité précédente n'a pas de solution tq pq>0\,
  8. En déduire les éléments inversibles de \mathbb{Z}[\alpha ]

[modifier] Niveau 13 : anneaux et corps

  1. Soit a\in \mathbb{Q}_+^* tq \sqrt{a}\notin \mathbb{Q}, et \mathbb{Q}[\sqrt{a}]=\{r+r'\sqrt{a},(r,r')\in \mathbb{Q}^2\} Mq \mathbb{Q}[\sqrt{a}] est un corps pour les lois usuelles +\, et \times.
  2. Soit K un corps. Soit (a,b)\in (K-\{0\})^2 tq a+b=1\, et a^{-1}+b^{-1}=1\,. Mq :
    1. ab=ba=1\,
    2. a=a^2+1\,
    3. a^4+a^2+1=0\,
    4. a^6=1\,

[modifier] Correction rapide (2e question)

Notons (1) et (2) les deux infos de l'énoncé.

Alors (2) : 1/a + 1/b = 1 = (a + b)/(ab) = 1/ab (d'après 1) donc ab = 1. De même, 1/a + 1/b = 1/b + 1/a = 1 = (b + a)/(ba) =1/ba donc ba = 1.

a × (1) : a² + ab = a or ab = 1 donc a² + 1 = a.

(a²+1)² = a² = a^4 + 2a² + 1 donc a^4 + a² + 1 = 0. (3)

(3) × a² : a^6 + a^4 + a² = 0 or d'après (3), a^4 + a² = -1, donc a^6 = 1.

[modifier] Niveau 13 : anneaux et corps

  1. Soit (K,+,\times ) un corps commutatif. Pour \lambda \in K\,, on définit dans K^2\, deux lci \oplus\, et \otimes\, par : \forall (x,y,u,v)\in K^4, \begin{cases}(x,y)\oplus (u,v)=(x+u,y+v) \\ (x,y)\otimes (u,v)=(xu+\lambda yv,xv+yu)\end{cases}.
    1. Mq (K^2,\oplus ,\otimes ) est un anneau commutatif.
    2. On pose K=\mathbb{R}. Mq (K^2,\oplus ,\otimes ) est un corps ssi \lambda <0\,
  2. Soit A un anneau et A^*\, l'ensemble des éléments inversibles de A. Mq \forall (x,y)\in A^2, 1-xy\in A^* \Leftrightarrow 1-yx\in A^*


Correction exo2, transférée sur Anneau (mathématiques)/Exercices/Exercices
  • Attention : la manipulation qui suit est réservée au brouillon ! Dans le cas général, plusieurs éléments écrits dans les lignes qui suivent n'ont aucun sens, mais cette manipulation formelle a le bon goût de fourninr une idée du résultat.

Soit (x,y)\in A^2 tel que 1-xy\in A^* et 1-yx\in A^*.

\begin{align} (1-xy)^{-1}&=\sum_{n=0}^{+\infty}(xy)^n\\ &=1+\sum_{n=1}^{+\infty}(xy)^n\\ &=1+\sum_{n=1}^{+\infty}x(yx)^{n-1}y\\ &=1+x\left(\sum_{n=0}^{+\infty}(yx)^n\right)y\\ &=1+x(1-yx)^{-1}y \end{align}
  • Soit (x,y)\in A^2 tel que 1-yx\in A^*.
\begin{align} (1-xy)(1+x(1-yx)^{-1}y)&=1+x(1-yx)^{-1}y-xy-xyx(1-yx)^{-1}y\\ &=1+x(1-yx)(1-yx)^{-1}y-xy\\ &=1\\ \end{align}

Donc 1+x(1-yx)^{-1}y\, est l'inverse de 1-xy\,, ce qui assure que 1-xy\in A^*.

  • On peut montrer de même que, \forall(x,y)\in A^*,~1-xy\in A^*\Rightarrow 1-yx\in A^*.
Finalement \forall (x,y)\in A^2, 1-xy\in A^* \Leftrightarrow 1-yx\in A^*
 

[modifier] Physique

[modifier] Niveau 12.5, circuit RC parallèle

On charge un condensateur de 1 µF sous une tension de 10 V, puis on branche à ses bornes un voltmètre numérique de résistance d'entrée R (en supposant le condensateur parfait : Rfuite=\infty).

  1. Déterminer R, sachant qu'après 2 minutes, le voltmètre affiche une ddp de 2.3 V.
  2. On constate que la résistance R est du même ordre de grandeur que la résistance de fuite du condensateur sous 10 V et, 2 minutes plus tard, on branche le voltmètre à ses bornes pendant un court instant. On mesure alors une ddp de 7.9 V. Déterminer la résistance de fuite Rfuite du condensateur et la résistance RV du voltmètre.

[modifier] Correction & remarques

1. On suppose le condensateur linéaire et parfait, de capacité C = 1 µF constante (tout cela… n'est pas dit). Chargé à l'instant On note V la tension aux bornes du condensateur et du voltmètre (un dessin, absent, clarifierait tout cela).

En appliquant la méthode des nœuds (ou n'importe quelle méthode d'ailleurs) on montre que la tension V vérifie une bête équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants :

\frac{\mathrm dV}{\mathrm dt} + \frac{1}{RC}V = 0

dont les solutions sont des exponentielles décroissantes de temps caractéristique τ = RC. On a ainsi :

V \left(t\right) = V_0 e^{-\frac{t}{\tau}}

avec V0 la tension du condensateur à l'origine (ici, 10 V). Notons maintenant V1 la tension mesurée après un temps Δt. On a :

V \left(\Delta t \right) = V_0 e^{-\frac{\Delta t}{\tau}} = V_1

donc :

e^{-\frac{\Delta t}{\tau}} = \frac{V_1}{V_0}

d'où :

\frac{\Delta t}{\tau}= - \ln{\frac{V_1}{V_0}}

soit encore :

\tau = \frac{\Delta t}{\ln{\frac{V_0}{V_1}}} = RC

Le résultat recherché est finalement :

R = \frac{\Delta t}{C \ln{\frac{V_0}{V_1}}}
R = \frac{2 \cdot 60}{1 \cdot 10^{-6} \ln{\frac{10}{2,3}}} = 8,1\cdot 10^7 \, \Omega \left(\approx 10\, M\Omega\right)

Ce qui donne une constante de temps τ = 81 s.

2. Alors là, on revient carrément sur les hypothèses de l'énoncé ! Il n'est plus question d'une résistance de fuite infinie, ce qui rend le tout encore un peu plus obscur. Voici mon interprétation des choses : puisque le voltmètre est branché très brièvement (il est dit « un court instant », dont on peut supputer qu'il est court devant RC), le courant qui passe par le voltmètre est négligeable et on n'en tient pas compte. Ainsi, la différence de potentiel mesurée correspond uniquement à la décharge du condensateur (fuite), de sorte que l'équation différentielle vérifiée par V est analogue à celle de la question 1 :

\frac{\mathrm dV}{\mathrm dt} + \frac{1}{R_{fuite}C}V = 0

Si bien que la résistance de fuite est donnée par une relation similaire :

R_{fuite} = \frac{\Delta t}{C \ln{\frac{V_0}{V_1}}}
R_{fuite} = \frac{2 \cdot 60}{1 \cdot 10^{-6} \ln{\frac{10}{7,9}}} = 5,0 \, M\Omega

On vérifie notamment que cette résistance est du même ordre de grandeur que l'impédance d'entrée du voltmètre.

Maintenant, on peut rendre le tout un peu plus intéressant… Exemple, à la fin (ou au début) de l'exo, on peut expliquer que : les mémoires RAM (DRAM, SDRAM etc.) utilisent des condensateurs pour stocker temporairement des données. Seulement, aussi grande que soit leur résistance de fuite, il n'est pas possible de conserver l'information très longtemps. En pratique, on rafraîchit ces mémoires régulièrement, ce qui explique notamment qu'une fois l'ordinateur éteint (ce rafraîchissement ne se faisant plus) la mémoire RAM s'efface. Au bout de l'exo, on se rend compte que la période de rafraîchissement est en effet assez courte (moins de 2 minutes) malgré des condensateurs plutôt corrects (Rfuite > 1MΩ). Par exemple. :-) Sharayanan (blabla) 18 février 2008 à 12:36 (UTC)

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