Anneau (mathématiques)/Exercices/Exercices

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**Exercices**
Leçon : Anneau (mathématiques)

Exercice 1

Cet exercice est de niveau 13.

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[modifier] Exercice

Soit A un anneau tq $\forall x\in A, x^2=x$

Mq $\forall x\in A, x+x=0$
En déduire que A est commutatif.

Solution

1. Soit $x\in A$ .

$\begin{align} 1+x&=(1+x)^2\\&=1+x+x+x^2\\&=(1+x)+x+x \end{align}$

Donc $\forall x\in A,~x+x=0$

2. Soit $(x,y)\in A^2$

$\begin{align}x+y&=(x+y)^2\\&=x^2+xy+yx+y^2\\&=x+y+xy+yx\end{align}$

Donc $x y = - y x$ . Or, d'après la question 1, $\forall t\in A,t=-t$

Donc $\forall(x,y)\in A^2,~xy=yx$ , donc A est commutatif.

[modifier] Exercice

Soit A un anneau et $A^*\,$ l'ensemble des éléments inversibles de A. Mq $\forall (x,y)\in A^2, 1-xy\in A^* \Leftrightarrow 1-yx\in A^*$

Solution

Attention : la manipulation qui suit est réservée au brouillon ! Dans le cas général, plusieurs éléments écrits dans les lignes qui suivent n'ont aucun sens, mais cette manipulation formelle a le bon goût de fourninr une idée du résultat.

Soit $(x,y)\in A^2$ tel que $1-xy\in A^*$ et $1-yx\in A^*$ .

$\begin{align} (1-xy)^{-1}&=\sum_{n=0}^{+\infty}(xy)^n\\ &=1+\sum_{n=1}^{+\infty}(xy)^n\\ &=1+\sum_{n=1}^{+\infty}x(yx)^{n-1}y\\ &=1+x\left(\sum_{n=0}^{+\infty}(yx)^n\right)y\\ &=1+x(1-yx)^{-1}y \end{align}$