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Sommaire

[modifier] Maths, -> 5/10/7

[modifier] DM3, Exo 1

  1. Montrer que, (\forall (a,b)/ab<1) : \arctan{a} + \arctan{b} = \arctan{\left ( \frac{a+b}{1-ab}\right )}
  2. Que dire si ab\ge 1\, ?

Pour cela, on pourra, mais il y a d'autres méthodes, s'intéresser, pour a \in \mathbb{R} fixé, à la fonction :

x\mapsto \arctan{\left (\frac{a+x}{1-ax}\right )} - \arctan{x}

[modifier] Solution

  1. Soit b constante réelle.

On pose, pour tout réel a tel que ab < 1, f(a) = \arctan{a} + \arctan{b} - \arctan{\left ( \frac{a+b}{1-ab}\right )}\, . La fonction est continument dérivable sur l'intervalle (ouvert) défini par la condition sur le produit :
f'(a) = \frac{1}{1+a^2} + 0 - \left (\frac{\left (\frac{a+b}{1-ab}\right ) ^{'}}{1+\left (\frac{a+b}{1-ab}\right )^2} \right ) = \frac{1}{1+a^2} - \left ( \frac{\frac{1-ab-(a+b)(-b)} {(1-ab)^2}}{\frac{(1-ab)^2+(a+b)^2}{(1-ab)^2}}\right ) = \frac{1}{1+a^2} - \left (\frac{1+b^2}{(1-ab)^2+(a+b)^2}\right ) =\frac{(1-ab)^2+(a+b)^2-(1+b^2)(1+a^2)}{(1+a^2) \cdot \left ( (1-ab)^2+(a+b)^2\right )}

Le numérateur de cette fonction s'écrit encore :

(1 − ab)2 + (a + b)2 − (1 + b2)(1 + a2) = 1 + a2b2 − 2ab + a2 + b2 + 2ab − (1 + a2 + b2 + a2b2) = 1 − 1 + a2b2 − a2b2 + 2ab − 2ab + a2 − a2 + b2 − b2 = 0

Donc, pour tout a dans l'intervalle, f'(a) = 0, donc f(a) = cste. On détermine cette constante à partir d'une valeur connue, autrement dit :

f(a) = f(0) = arctanb − arctanb = 0

On a alors : \arctan{a} + \arctan{b} - \arctan{\left ( \frac{a+b}{1-ab}\right )} = 0 donc \arctan{a} + \arctan{b} = \arctan{\left ( \frac{a+b}{1-ab}\right )}

QED

  1. Lorsque ab = 1, la formule précédente diverge et n'est donc plus vraie. On a en revanche la célèbre égalité :
\arctan{a} + \arctan{\frac{1}{a}} = \frac{\pi}{2} si a > 0 et
\arctan{a} + \arctan{\frac{1}{a}} = -\frac{\pi}{2} si a < 0.

La démonstration se fait par dérivation.

Lorsque ab > 1, la preuve précédente n'ayant pas fait usage de l'hypothèse ab < 1, elle reste valable.

[modifier] Maths, -> 19/10/07

[modifier] DM 5, Exo 1 : Le cercle orthoptique

Dans le plan affine euclidien orienté \mathbb{R}^2 rapporté à son repère canonique R=(O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}), on considère l'ellipse (E)\, d'équation :

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

et un point M_0=(x_0,y_0)\, extérieur à l'ellipse.

  1. Pour tout réel m\,, donner l'équation de la droite (D_m)\, passant par M_0\, et de coefficient directeur m\,.
  2. Montrer que (D_m)\, est tangente à (E)\, ssi m\, est solution d'une équation du second degré que l'on précisera.
  3. Montrer qu'il existe deux tangentes à (E)\, passant par M_0\, et perpendiculaires (entre elles) ssi M_0\, appartient à un cercle de centre O\, dont on donnera le rayon.

[modifier] Solution

en cours

[modifier] DM 5, Exo 2 : Points cocycliques sur une conique

Dans le plan affine euclidien orienté \mathbb{R}^2 rapporté à son repère canonique R=(O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}), on considère une ellipse (\Gamma)\, donnée par son équation

f(x,y)=ax^2+y^2-c=0\, avec a>0, a\neq 1, c>0\,

Et 4 points A, B, C, D\, deux à deux distincts de (\Gamma)\,.

  1. On suppose que A, B, C, D\, sont situés sur un même cercle (C)\, d'équation
    g(x,y)=x^2+y^2+2\alpha x+2\beta y+\gamma =0\,
    Pour tout réel \lambda\,, on note (E_{\lambda})\, la conique d'équation f(x,y)-\lambda g(x,y) =0\,.
    1. Montrer que les directions des axes de symétrie de (E_{\lambda})\, ne dépendent pas de \lambda\,.
    2. Montrer qu'il existe une valeur de \lambda\, telle que (E_{\lambda})\, est décomposée en droites.
    3. En déduire que les droites (AB)\, et (CD)\, ou les droites (AC)\, et (BD)\, ou les droites (AD)\, et (BC)\, ont des directions symétriques par rapport aux axes de (\Gamma)\,.
  2. On suppose que les droites (AB)\, et (CD)\, ont des directions symétriques par rapport aux axes de (\Gamma)\,. Montrer que A, B, C, D\, sont cocycliques.

[modifier] Maths, -> 23/11/07

[modifier] DM 7, Exo 1

On considère un ensemble E\, et deux parties A\, et B\, de E\,.
On note f\, l'application de \mathcal{P}(E) dans \mathcal{P}(A)\times \mathcal{P}(B) définie par :

f(X)=(A\cap X,B\cap X)\, pour tout X\in \mathcal{P}(E).
  1. Mq f\, est injective ssi A\cup B=E
  2. Mq f\, est surjective ssi A\cap B=\varnothing
  3. Donner une cns pour que f\, soit bijective et expliciter la réciproque de f\, dans ce cas.

1. Soit X dans P(E) tel que f(X) = (0,0).

Alors (A inter X = 0) et (B inter X) = 0, donc X appartient au complémentaire de (A union B) dans E.

Analyse : si A union B = E, ce complémentaire est l'ensemble vide, donc la fonction est injective car alors X = 0. Synthèse : si la fonction est injective, f(X) = (0,0) implique X = 0, donc implique Complémentaire(A union B) = 0, donc A union B = E.

Conclusion : par analyse-synthèse, f est injective ssi A union B = E.

2. Démonstration analogue mais pour la surjectivité de f.

3. Bijectivité en dimension infinie : injectivité & surjectivité. Or :

  • f est surjective ssi A union B = E ;
  • f est injective ssi A inter B = Ø ;

Ainsi, une cns pour que f soit bijective est que A et B soient en somme directe.

On peut alors expliciter la réciproque de f, qui à tout couple (a, b) associe X tel que (a = A inter X) et (b = B inter X):

f-1(a, b) = a + b

Fin.

[modifier] DM 7, Exo 2

On considère l'application f\, de \mathbb{N}\times \mathbb{N} vers \mathbb{N} définie par :

f(p,q)=q+\frac{(p+q)(p+q+1)}{2}
  1. Mq la relation binaire \mathcal{R} dans \mathbb{N}\times \mathbb{N} définie par :
    (p,q)\mathcal{R}(p',q')\Leftrightarrow \begin{cases}p+q<p'+q' \\ \mbox{ou }(p+q=p'+q'\mbox{ et }q\le q')\end{cases}
    est une relation d'ordre total.
  2. Mq si (p,q)\mathcal{R} (p',q')\mbox{ et }(p,q)\neq (p',q') alors f(p,q)<f(p',q')\,
  3. Pour p\in \mathbb{N}^* et q\in \mathbb{N}, calculer f(p-1,q+1)-f(p,q)\, et f(q+1,0)-f(0,q)\,
  4. Mq (\forall n\in \mathbb{N})(\exists (p,q)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N})/f(p,q)=n. On pourra procéder par récurrence sur n\,.
  5. Mq f\, est bijective.

1. Suffit de montrer les trois axiomes des relations d'ordre total... spa bien dur.

2. Supposons (p,q)R(p', q') et (p,q) différent de (p',q'). C'est-à-dire que :

  • (p + q < p' + q') (1) ou ((p+q = p'+q') et q ≤ q') (2) ;
  • (p,q) est différent de (p',q')

Alors,

f(p,q)=q+(p+q)(p+q+1)/2 ;

f(p',q')=q'+(p'+q')(p'+q'+1)/2 ;

f(p,q) - f(p',q') = q - q' + (p+q)(p+q+1)/2 - (p'+q')(p'+q'+1)/2 = q-q' + 1/2 ( (p+q)(p+q+1) - (p'+q')(p'+q'+1) )

Si (2), alors la somme de droite est nulle, et on a f(p,q) - f(p',q') = q - q' ≤ 0 CQFD.

Si (1), alors développons les produits de droite :

  • (p+q)(p+q+1) - (p'+q')(p'+q'+1) = p² + 2pq + q² + p + q - (p'² + 2p'q' + q'² + p' + q')
  • = (p + q - (p' + q')) + (p² + 2pq + q²) - (p'² + 2p'q'+ q'²)
  • = (p + q - (p' + q')) + (p+q)² - (p' + q')²
  • = (p + q - (p' + q')) + (p+q + p'+q')×(p+q - (p'+q'))

Le membre de gauche est négatif par (1), le membre de droite est produit d'un nombre positif (à gauche) et négatif (par (1)) donc est négatif. Conclusion : il s'agit d'un nombre négatif.

CQFD.


3. Simple calcul.

4. Récurrence facile, ou pas.

5. La question 4 montre que f est surjective. (Des arguments de dimension infinie hors-programme permettent de conclure ou) vérifions que f est injective :

Soit p,q tq f(p,q)=0, alors :

  • 0 = q + 1/2 ((p+q)(p+q+1))

Il s'agit d'une somme de termes positifs. Ainsi, les deux termes de la somme sont nuls :

  • q = 0
  • p * (p+1) = 0

Le polynôme X² + X = X(X+1) n'admet qu'une racine positive : 0. Ainsi, p = q = 0. Conclusion : f est injective.

par conséquent, f est bijective. CQFD.

[modifier] Maths, -> 11/11/07

[modifier] DM8, Exercice 1 : Dénombrement des surjections

On note E\, un ensemble fini et A_1, A_2, ..., A_n\, n parties de E\,.

    1. Exprimer Card(A_1\cup A_2\cup A_3)\, en fonction des cardinaux de A_1, A_2, A_3\, et de leurs intersections.
    2. Faire de même pour Card(A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4)\,.
    3. Pour tout entier k tq 1\le k\le n, on note : a_k = \sum_{1\le i_1<i_2<...<i_k\le n} Card(A_{i_1}\cap A_{i_2} \cap ...\cap A_{i_k}) où la somme porte sur tous les k-uplets (i_1,i_2,...,i_k)\, d'entiers tq : 1\le i_1<i_2<...<i_k\le n\,. Mq Card \bigcup_{i=1}^n A_i = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}a_k.
  2. On note E\, et F\, deux ensembles finis de cardinaux respectifs n et p avec 1\le n\le p\,, \mathcal{S}(F,E) l'ensemble des surjections f de F\, vers E\,, et \mathcal{S}_n^p le cardinal de \mathcal{S}(F,E).
    1. Déterminer \mathcal{S}_1^p, \mathcal{S}_2^p et \mathcal{S}_p^p.
    2. Mq \binom{n}{1} \mathcal{S}_1^p + \binom{n}{2} \mathcal{S}_2^p + \binom{n}{3} \mathcal{S}_3^p + ... + \binom{n}{n} \mathcal{S}_n^p = n^p. On pourra pour cela classer les applications f de F\, vers E\, suivant le cardinal de f(F)\,.
    3. Mq \mathcal{S}_n^p = n(\mathcal{S}_n^{p-1} + \mathcal{S}_{n-1}^{p-1}). On pourra pour cela choisir un élément a de F\, et étudier les images f(a) \mbox{ et } f(F-\left \{a\right \}) par f. En déduire la valeur de \mathcal{S}_n^{n+1} \mbox{ et } \mathcal{S}_n^{n+2}.
    4. En utilisant la question 1.3, mq :
      \mathcal{S}_n^p = n^p -\binom{n}{1}(n-1)^p +\binom{n}{2}(n-2)^p -\binom{n}{3}(n-3)^p +...+(-1)^{n-1}\binom{n}{n-1}
    5. Rédiger un programme Maple renvoyant \mathcal{S}_n^p pour des valeurs données de n et p. Calculer \mathcal{S}_5^{10}.
    6. Rédiger un programme Maple renvoyant le tableau à deux dimensions des \mathcal{S}_n^p pour 0\le n\le p\le q\, où l'entier q est donné. Calculer la valeur de \mathcal{S}_n^p pour 0\le n\le p\le 5\,. On présentera les résultats sous la forme d'un tableau à double entrée.
    7. Donner le nombre de n-uplets (A_1, A_2,...A_n)\, de parties de F\, réalisant une partition de F\, en n parties i-e tq : aucun A_i\, n'est vide, la réunion des A_i\, est F\,, et les A_i\, sont deux à deux disjoints.

[modifier] Alors... quelques suggestions

1. Faire un dessin, identifier les intersections, utiliser la formule de Grassmann.

2. Pareil.

3. Je subodore une démonstration par récurrence.

Je comprend pas la partie 2. Ou ptet que je suis pas assez réveillé. En me donnant un exemple ptet, mais sinon je saisis pas le sens de l'énoncé. Sharayanan (blabla) 9 décembre 2007 à 13:57 (UTC)

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