Relation (mathématiques)/Relation d'ordre

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Relation d'ordre
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Chapitre 1
Leçon : Relation (mathématiques)
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Définition
  • Une relation d'ordre (ou un ordre) est une relation réflexive, transitive et antisymétrique.
  • Si R est une relation d'ordre sur E, et si x et y sont des éléments de E, on dit que x et y sont comparables si xRy ou yRx.
  • Si R est une relation d'ordre sur E, on dit que R est une relation d'ordre complet si deux éléments quelconques de E sont comparables sous R. Sinon, on parle de relation d'ordre partiel.

Exemples

  • L'ordre usuel (\leq) sur \mathbb{N}, sur \mathbb{Z}, sur \mathbb{Q} ou sur \mathbb{R} sont des relations d'ordre.
  • Démonstration (Sur \mathbb{R}):
  1. Réflexive : \forall x\in \mathbb{R} on a x \leq x
  2. Transitive : Soient x,y,z\in \mathbb{R} tels que x \leq y et y \leq z alors x \leq z
  3. Antisymétrique : Soient x,y\in \mathbb{R} tels que x \leq y alors -y \leq -x
  • Si E est un ensemble, la relation \subset (inclusion) définie sur P(E) (l'ensemble des parties de E) est une relation d'ordre.
  • Démonstration :
  1. Réflexive : Soit E un ensemble. On a E \subset E (on a bien E \in P(E))
  2. Transitive : Soient A,B,C \subset E tels que A \subset B et B \subset C alors A \subset C
  3. Antisymétrique : Soient A,B \subset E tels que A \subset B alors \overline{B} \subset \overline{A}
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