Trigonométrie/Triangle rectangle

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Par projeté orthogonal, sur l'axe des abscisses ou des ordonnées, d'un point situé sur le cercle trigonométrique, nous obtenons un angle droit, et donc, un triangle rectangle. Nous allons pouvoir redéfinir les formules des fonctions trigonométriques dans un triangle rectangle, déjà vues au collège : $\sin$, $\cos$ et $\tan$.

Sinus et cosinus dans un triangle rectangle

Dans le cercle trigonométrique, le point $M$ est projeté sur les deux axes du repère afin d'obtenir le sinus et le cosinus d'un angle $\alpha$. On obtient alors un triangle rectangle dont l'hypoténuse est le segment $[OM]$, de longueur égale à 1 unité (rayon $r=1$). Afin de rester en longueurs positives, le repère est restreint aux demi-axes $Ox$ et $Oy$. L'intervalle angulaire du cercle trigonométrique est restreint à $[\scriptstyle 0;\textstyle {\frac {\pi }{2}}[$.

Construction d’un triangle rectangle quelconque.

Nous pouvons construire tous les triangles rectangles ayant une hypoténuse mesurant 1 unité de longueur. Mais par un point quelconque $M'$ de la droite $(OM)$, on peut aussi construire tous les triangles rectangles possibles. Le triangle construit ici est nommé $OM'S'_{2}$, ($S'_{2}$ étant le projeté orthogonal de $M'$ sur $Ox$).

En appliquant le théorème de Thales aux deux triangles $OMS_{2}$ et $OM'S'_{2}$, nous obtenons les relations suivantes :

${\frac {OS_{2}}{OS'_{2}}}={\frac {OM}{OM'}}={\frac {MS_{2}}{M'S'_{2}}}\Longleftrightarrow$${\frac {\cos \alpha }{OS'_{2}}}={\frac {1}{OM'}}={\frac {\sin \alpha }{M'S'_{2}}}$

Et par conséquent :

$\cos \alpha ={\frac {OS'_{2}}{OM'}}$ et $\sin \alpha ={\frac {M'S'_{2}}{OM'}}.$

Définitions

Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu est le rapport entre la longueur de son côté opposé et celle de l'hypoténuse.

Dans notre exemple ci contre, cela donne :

$\sin({\hat {A}})={\frac {\left[BC\right]}{\left[AC\right]}}={\frac {o}{h}}$

Définitions

Le cosinus d’un angle aigu est le rapport entre la longueur de son côté adjacent et celle de l'hypoténuse.

Dans notre exemple ci contre, cela donne :

$\cos({\hat {A}})={\frac {\left[AB\right]}{\left[AC\right]}}={\frac {a}{h}}$

Remarque :

Il n'y a pas d'angle obtus dans un triangle rectangle : on ne peut pas définir le cosinus, le sinus, la tangente d’un angle obtus si on prend en compte les côtés d’un triangle rectangle.

Tangente dans un triangle rectangle

Si $OS_{2}=1$, nous reconnaissons immédiatement $\tan \alpha$ dans la longueur du segment $[MS_{2}]$. Alors pour tout triangle rectangle construit à partir d’un angle $\alpha \in \textstyle [\scriptstyle 0;\textstyle {\frac {\pi }{2}}[$, le théorème de Thales nous donne :

${\frac {OS_{2}}{OS'_{2}}}={\frac {MS_{2}}{M'S'_{2}}}\Longleftrightarrow$ ${\frac {1}{OS'_{2}}}={\frac {\tan \alpha }{M'S'_{2}}}$

Et par conséquent :

$\tan \alpha ={\frac {M'S'_{2}}{OS'_{2}}}.$

Définition

Dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle aigu est le rapport entre la longueur de son côté opposé et celle de son côté adjacent.

Dans l'exemple ci contre, cela donne :

$\tan({\hat {A}})={\frac {\left[BC\right]}{\left[AB\right]}}={\frac {o}{a}}$