Trigonométrie/Triangle rectangle

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**Triangle rectangle**
Leçon : Trigonométrie

Chapitre 2
Chap. préc. :	Cercle trigonométrique
Chap. suiv. :	Cosinus dans un triangle rectangle

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Trigonométrie/Triangle rectangle », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Par projeté orthogonal d'un point du cercle trigonométrique sur l'axe des abscisses ou des ordonnées, nous obtenons un angle droit et, du même coup, un triangle rectangle. Nous allons alors pouvoir redéfinir les formules de fonctions trigonométriques dans un triangle rectangle, déjà vues au collège, en particulier pour les fonctions $sin$ , $cos$ et $tan$ .

[modifier] Sinus et cosinus dans un triangle rectangle

Dans le cercle trigonométrique, nous avions projeté $M$ sur les deux axes du repère pour obtenir les sinus et cosinus d'un angle. Ceci nous a donné un triangle rectangle dont l'hypoténuse est le segment $[O M]$ , un rayon de longueur 1. Afin de rester en longueurs positives, restreignons le repère aux demi-axes $O x$ et $O y$ ainsi que le cercle trigonométrique à l'intervalle $[\scriptstyle 0;\textstyle\frac{\pi}{2}[$ .

Construction d'un triangle rectangle quelconque.

Nous pouvons clairement construire tous les triangles rectangles ayant une hypoténuse de longueur 1. Mais par un point quelconque $M'$ de la droite $O M$ , on peut aussi construire tous les triangles rectangles possibles, ici nommés $O M' S' 2$ , en posant $S' 2$ le projeté orthogonal de $M'$ sur $O x$ . Pour tous ces triangles, le théorème de Thalès nous permet d'écrire

$\frac{OS_2}{OS'_2} = \frac{OM}{OM'} = \frac{MS_2}{M'S'_2}$ soit $\frac{\cos \alpha}{OS'_2} = \frac{1}{OM'} = \frac{\sin \alpha}{M'S'_2}$

et donc

$\cos \alpha = \frac{OS'_2}{OM'}$ et $\sin \alpha = \frac{M'S'_2}{OM'}.$

Définitions

Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est le rapport entre la longueur de son côté opposé et celle de l'hypoténuse.

Dans notre exemple ci contre, cela donne :

$\sin{\hat{A}} = \frac{\left[BC\right]}{\left[AC\right]} = \frac oh$

Définitions

Le cosinus d'un angle aigu est le rapport entre la longueur de son côté adjacent et celle de l'hypoténuse.

Dans notre exemple ci contre, cela donne :

$\cos{\hat{A}} = \frac{\left[AB\right]}{\left[AC\right]} = \frac ah$

Remarque :

Il n'y a pas d'angle obtus dans un triangle rectangle : on ne peut pas définir le cosinus d'un angle obtus grâce aux côtés d'un triangle rectangle. Il en sera de même pour la fonction tangente.

[modifier] Tangente dans un triangle rectangle

Si $O S 2 = 1$ , nous reconnaissons immédiatement $\scriptstyle\tan \alpha$ dans la longueur du segment $[M S 2]$ . Alors pour tout triangle rectangle construit à partir d'un angle $\scriptstyle\alpha\in\textstyle[\scriptstyle 0;\textstyle\frac{\pi}{2}[$ , le théorème de Thalès nous donne :