Trigonométrie/Cercle trigonométrique

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Cercle trigonométrique
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Chapitre no1
Leçon : Trigonométrie
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Trigonométrie/Cercle trigonométrique
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Présentation du cercle trigonométrique[modifier | modifier le wikitexte]

Soit \scriptstyle (O;\vec i,\vec j) un repère orthonormé. Nous pouvons y construire un cercle \scriptstyle\mathcal{C} de centre O et de rayon égal à la norme de \scriptstyle\vec i (ou \scriptstyle \vec j). Les vecteurs \scriptstyle\vec i et \scriptstyle \vec j étant unitaires, ce cercle a pour rayon 1.

Le cercle trigonométrique.



Il faut voir le cercle trigonométrique comme un axe, à l'image de l'axe des réels, mais « enroulé » pour donner sa forme circulaire. Ainsi, il nous faut le munir d'un point origine, d'une unité de longueur et d'une orientation. L'origine sera le point I d'abscisse 1 et l'unité de longueur va être la même que celle du repère. Nous poserons comme orientation le sens inverse des aiguilles d'une montre, appelé sens trigonométrique.

Le périmètre du cercle \scriptstyle\mathcal{C} est donné par :

\begin{align}
P &= 2\pi\times 1\\
&= 2\pi.
\end{align}

Sur l'axe réel, il est bien difficile de placer le point \scriptstyle x = 2\pi mais sur le cercle trigonométrique, les valeurs \scriptstyle 0 et \scriptstyle 2\pi se trouvent confondues. Il en est d'ailleurs de même pour \scriptstyle 2\pi,4\pi,-2\pi,-4\pi,\ldots. Nous pouvons aussi placer sans grandes difficultés \scriptstyle \pi, \textstyle\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4},\scriptstyle\ldots.



Une abscisse curviligne est, de préférence, donnée sous la forme \scriptstyle\lambda\pi, avec \scriptstyle \lambda\in\R.


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Sur le cercle trigonométrique, deux points A et B, d'abscisses respectives x_A et x_B, définissent un arc orienté \scriptstyle\overset{\scriptstyle\curvearrowright}{AB}, c'est-à-dire un segment courbe ayant une origine (ici, A) et un sens (ici de A vers B).

Une abscisse curviligne de M_0 et un arc orienté AB.



Le radian[modifier | modifier le wikitexte]

Quelques correspondances radian-degré.


Remarques :

  • Il existe une infinité d'angles orientés associés à un arc du cercle \scriptstyle\mathcal{C}, séparés d'une distance \scriptstyle 2k\pi (\scriptstyle k\in\Z).
  • On montre aisément que :

1\mbox{ rad} = \frac{180^\circ}{\pi}.

L'angle \alpha peut aussi être notée :

(\widehat{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}}) ou (\overline{ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}}).

La dernière notation correspond à la mesure de \scriptstyle \overset{\scriptstyle \curvearrowright}{AB} mais il y a coïncidence entre l'angle et la mesure de son arc associé.

Sinus, cosinus, tangente, cotangente[modifier | modifier le wikitexte]

Ajoutons au repère (déjà bien garni…) deux axes réels :

  • l'axe \Delta_1, image de x'x par la translation de vecteur \scriptstyle\vec j ;
  • l'axe \Delta_2, image de y'y par la translation de vecteur \scriptstyle\vec i.
Représentation des fonctions \sin, \cos, \tan et \cot.




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