Trigonométrie/Équations et inéquations trigonométriques

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Équations et inéquations trigonométriques
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Chapitre 10
Leçon : Trigonométrie
Chap. préc. : Théorème du sinus
Chap. suiv. : Les formules de trigonométrie


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Sommaire

[modifier] Équations trigonométriques

[modifier] Équations de base

Équations de base

Soit (x,y)\in\R^2

  • sin(x)=sin(y) ssi il existe k\in\mathbb Z tel que x=y+2k\pi\, ou x=\pi-y+2k\pi\,
  • cos(x)=cos(y) ssi il existe k\in\mathbb Z tel que x=y+2k\pi\, ou x=-y+2k\pi\,

Soit (x,y)\in\R^2\backslash \left\{\frac{\pi}2+k\pi,k\in\mathbb Z\right\}

  • tan(x)=tan(y) ssi il existe k\in\mathbb Z tel que x=y+k\pi\,



Exemple

Résoudre dans \R l'équation (E_1)~:~2\sin(2x)=1 d'inconnue x.

Soit x\in\R.
\begin{align} 2\sin(2x)=1&\Leftrightarrow \sin(2x)=\frac12\\ &\Leftrightarrow \sin(2x)=\sin\left(\frac{\pi}6\right)\\ &\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb Z,~2x=\frac{\pi}6+2k\pi\textrm{~ou~}2x=\frac{5\pi}6+2k\pi\\ \end{align}

L'ensemble des solutions de (E₁) est alors \mathcal S_1=\left \{\frac{\pi}{12}+k\pi,\frac{5\pi}{12}+k\pi~,~k\in\mathbb Z\right \}

[modifier] Modèle courant

Équation courante

Soit (a,b,c)\in\R^3 tel que (a,b)\not=(0,0). On étudie l'équation (E)~:~a\cos(x)+b\sin(x)=c d'inconnue x\in\R.

[modifier] Cas général

[modifier] Inéquations trigonométriques

Crystal Clear action back.png Théorème du sinus
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