Trigonométrie/Les formules de trigonométrie

Une page de Wikiversité.


Les formules de trigonométrie
Nuvola apps edu mathematics-p.svg
Chapitre 6
Leçon : Trigonométrie
Chap. préc. : Équations et inéquations trigonométriques
Chap. suiv. : Trigonométrie réciproque
Icon falscher Titel.svg

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Trigonométrie : Les formules de trigonométrie
Trigonométrie/Les formules de trigonométrie », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Cette annexe va présenter une démonstration des formules de trigonométrie du chapitre 4 (page dont il serait très pratique d'avoir en parallèle avec ce cours, dans votre navigateur). Il existe des démonstrations ne relevant que de géométrie pure mais dans le but de généraliser les formules aux angles orientés et à valeur réelle (angles négatifs, angles supérieurs à 360°), nous allons devoir recourir à la géométrie analytique.

Notre priorité sera avant tout de montrer les deux formules concernant \scriptstyle \cos (a+b) et \scriptstyle \sin (a+b). Toutes les autres en découleront immédiatement.

[modifier] Les formules d'addition

Somme de deux angles dans le cercle trigonométrique.

Soient a et b deux réels. Dans un répère orthonormé \scriptstyle (O;\vec i,\vec j), posons A et B les points du cercle trigonométrique tels que

(\overline{\vec i,\overrightarrow{OA}}) = a   et   (\overline{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}}) = b.

Soit encore A' le point du cercle trigonométrique tel que

(\overline{\vec i,\overrightarrow{OA'}}) = a + \frac{\pi}{2}.

Alors :

\begin{align} \overrightarrow{OA} &= \cos (a) \vec i + \sin (a) \vec j\\ \overrightarrow{OA'} &= \cos \left(a+\frac{\pi}{2}\right) \vec i + \sin \left(a+\frac{\pi}{2}\right) \vec j\\ &= -\sin (a) \vec i + \cos (a) \vec j\\ \overrightarrow{OB} &= \cos (a+b) \vec i + \sin (a+b) \vec j. \end{align}

Mais dans le repère \scriptstyle (O;\overrightarrow{\scriptstyle OA},\overrightarrow{\scriptstyle OA'}),

\begin{align} \overrightarrow{OB} &= \cos (b) \overrightarrow{OA} + \sin (b) \overrightarrow{OA'} \\ &= \cos b (\cos (a) \vec i + \sin (a) \vec j) + \sin b \left(-\sin (a) \vec i + cos (a) \vec j\right) \\ &= (\cos a \cos b) \vec i + (\sin a \cos b) \vec j - (\sin a \sin b) \vec i + (\cos a \sin b) \vec j \\ &= (\cos a \cos b - \sin a \sin b) \vec i + (\sin a \cos b + \cos a \sin b) \vec j \end{align}

or

\overrightarrow{OB} = \cos (a+b) \vec i + \sin (a+b) \vec j.

Les composantes d'un vecteur étant uniques, nous pouvons identifier :

\begin{align} \cos (a+b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b \\ \sin (a+b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b. \end{align}

Ainsi,

\begin{align} \cos (a-b) &= \cos (a+(-b)) \\ &= \cos a \cos (-b) - \sin a \sin (-b) \\ &= \cos a \cos b + \sin a \sin b \\ \sin (a-b) &= \sin (a+(-b)) \\ &= \sin a \cos (-b) + \cos a \sin (-b) \\ &= \sin a \cos b - \cos a \sin b. \end{align}

Enfin,

\begin{align} \tan (a+b) &= \frac{\sin (a+b)}{\cos (a+b)} \\ &= \frac{\sin a \cos b + \cos a \sin b}{\cos a \cos b - \sin a \sin b} \\ &= \frac{\sin a \cos b + \cos a \sin b}{\cos a \cos b} \times \frac{\cos a \cos b}{\cos a \cos b - \sin a \sin b} \\ &= \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \\ \tan (a-b) &= \tan (a+(-b)) \\ &= \frac{\tan a + \tan (-b)}{1 - \tan a \tan (-b)} \\ &= \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}. \\ \end{align}

[modifier] Les autres formules

En posant a = b, et en n'oubliant pas que cos2a + sin2a = 1, les formules de duplication viennent clairement.

De là, on trouve facilement les formules de linéarisation à l'aide de deux expressions de cos(2a).

Les formulaires 4 et 5 s'obtiennent à partir du formulaire 1 :

\displaystyle \cos (a+b) + \cos (a-b) = 2\cos a \cos b

donc

\cos a \cos b = \frac{1}{2}[\cos (a+b) + \cos (a-b)]

et, par un changement de variable, en posant p = a + b et q = a − b,

\displaystyle \cos p + \cos q = 2\cos \left(\frac{p+q}{2}\right) \cos \left(\frac{p-q}{2}\right).
Récupérée de « http://fr.wikiversity.org/wiki/Trigonom%C3%A9trie/Les_formules_de_trigonom%C3%A9trie »