Triangles et parallèles/Théorème de Thalès

Leçons de niveau 9
Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Début de la boite de navigation du chapitre
Théorème de Thalès
Icône de la faculté
Chapitre no 3
Leçon : Triangles et parallèles
Chap. préc. :Conservation de l'aire
Chap. suiv. :Sommaire

Exercices :

Théorème de Thalès
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Triangles et parallèles : Théorème de Thalès
Triangles et parallèles/Théorème de Thalès
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sur l'utilité des différents énoncés du théorème de Thalès[modifier | modifier le wikicode]

  • Le théorème direct de Thalès sert à calculer des longueurs.
  • Le théorème réciproque sert à démontrer que deux droites sont parallèles.
  • La contraposée du théorème sert à démontrer que deux droites sont sécantes.

Le théorème direct de Thalès[modifier | modifier le wikicode]

Si, dans les figures suivantes, les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

Configuration « triangle »

Thalès

Configuration « papillon »

Thalès

alors il y a proportionnalité dans le tableau :

Petites Longueurs AD AE DE
Grandes Longueurs AB AC BC

Exemple dans la configuration « triangle »[modifier | modifier le wikicode]

Si AB = 5 cm, AD = 2 cm et AE = 3 cm. Calculer AC.

il y a proportionnalité dans le tableau :

Petites Longueurs AD = 2 AE = 3 DE
Grandes Longueurs AB = 5 AC = ? BC

le coefficient de proportionnalité est : donc

Exemple dans la configuration « papillon »[modifier | modifier le wikicode]

Si AB = 3,5 cm, AD = 2 cm et AE = 2,5 cm. Calculer AC.

il y a proportionnalité dans le tableau :

Petites Longueurs AD = 2 AE = 2,5 DE
Grandes Longueurs AB = 3,5 AC = ? BC

le coefficient de proportionnalité est : donc

Remarques[modifier | modifier le wikicode]

  • Il faut que le point pivot A apparaisse quatre fois dans les deux premières colonnes du tableau.

Nous expliquons en approfondissements pourquoi on déconseille aux élèves de troisième d’utiliser les longueurs BD et EC dans leur tableau de proportionnalité.

  • On peut énoncer le théorème direct de Thalès avec des rapports de longueurs.

La réciproque du théorème de Thalès[modifier | modifier le wikicode]

Version « triangle »[modifier | modifier le wikicode]

Soient les points A,B,C,D,E.

  • Si les points A, D et B sont alignés dans cet ordre.
  • Si les points A, E et C sont alignés dans cet ordre.
  • Si l'égalité des rapports suivants est vraie : .

Alors on est dans une configuration "triangle" et les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

De plus, les trois rapports suivants sont égaux : .

Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Si A, D et B sont alignés dans cet ordre.

Si A, E et C sont alignés dans cet ordre.

avec AB = 10 cm, AD = 4 cm, AE = 6 cm et AC = 15 cm.

alors en appliquant cela :

et d’après la réciproque du théorème de Thalès, on est dans une configuration "triangle" et les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

De plus, on a :

Version « papillon »[modifier | modifier le wikicode]

Soient les points A,B,C,D,E.

  • Si les points D, A et B sont alignés dans cet ordre.
  • Si les points E, A et C sont alignés dans cet ordre.
  • Si l'égalité des rapports suivants est vraie : .

Alors on est dans une configuration "papillon" et les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

De plus, les trois rapports suivants sont égaux : .

Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Si D, A et B sont alignés dans cet ordre.

Si E, A et C sont alignés dans cet ordre.

Avec AB = 7 cm, AD = 4 cm, AE = 5 cm et AC = 8,75 cm.

alors en appliquant cela :

et d’après la réciproque du théorème de Thalès, on est dans une configuration "papillon" et les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

De plus, on a : .

Remarque[modifier | modifier le wikicode]

L'important ici est que les deux triplets de points soient alignés dans le même ordre. On pourrait donc résumer ces deux versions en une seule. Mais il n'y aurait plus moyen de savoir dans quelle configuration on se trouve.

Contraposée du théorème de Thalès[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème



Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Dans la figure ci-dessous, démontrer que les droites (PM) et (BE) sont sécantes.

Thalès

Liens[modifier | modifier le wikicode]

Animations[modifier | modifier le wikicode]

Document au format H T M L[html]le document est sous une licence copyright[licence Copyright](fr)lien vers le document • Site du kangourou : Une animation flash édifiante

Exercices interactifs[modifier | modifier le wikicode]

Sur les différents théorèmes de Thalès[modifier | modifier le wikicode]