Triangles et parallèles/Théorème des milieux
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| Chapitre 1 | |||
| Leçon : Triangles et parallèles | |||
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| Chap. suiv. : | Théorème de Thalès | ||
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Triangles et parallèles/Théorème des milieux », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Remarque : Sur les figures, on a tracé en vert les hypothèses des théorèmes, et en rouge les conclusions.
Sommaire |
[modifier] Droite des milieux
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Théorème |
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La droite qui passe par les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté. |
[modifier] Exemple
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Dans la figure ci-contre, on donne les longueurs :
Démontrer que (IJ) et (BC) sont parallèles. |
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On a 
donc I est le milieu de [AB];de même 
donc J est le milieu de [AC] ; d'après le théorème direct des milieux (IJ) est parallèle à (BC)
[modifier] Théorème réciproque des milieux
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Théorème |
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La droite qui passe par le milieu d'un côté d'un triangle parallèlement à un second côté coupe le troisième côté en son milieu. |
[modifier] Exemple
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Dans la figure ci-contre, on sait que :
Démontrer que J est le milieu de [AC]. |
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On a donc I est le milieu de [AB]
de plus (IJ) et (BC) sont parallèles
donc d'après la réciproque du théorème des milieux,
J est le milieu du troisième côté [AC]
[modifier] Propriété métrique des milieux
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Propriété |
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Dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de celle du 3e côté. |
[modifier] Exemple 1
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Dans la figure ci-contre, on donne les longueurs :
Combien vaut IJ ? Justifier. |
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On a donc I est le milieu de [AB];de même donc J est le milieu de [AC] ; d'après la propriété métrique des milieux : 
[modifier] Exemple 2
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Dans la figure ci-contre, on sait que :
Combien vaut IJ ? Justifier. |
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On a donc I est le milieu de [AB]
de plus (IJ) et (BC) sont parallèles
donc d'après la réciproque du théorème des milieux,
J est le milieu du troisième côté [AC]
d'après la propriété métrique des milieux, on a donc :
