Triangles et parallèles/Théorème de Thalès

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Théorème de Thalès
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Chapitre no3
Leçon : Triangles et parallèles
Chap. préc. : Conservation de la surface
Chap. suiv. : Sommaire

Exercices :

Théorème de Thalès
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Sur l'utilité des différents énoncés du théorème de Thalès[modifier | modifier le wikitexte]

  • Le théorème direct de Thalès sert à calculer des longueurs.
  • Le théorème réciproque sert à démontrer que deux droites sont parallèles.
  • La contraposée du théorème sert à démontrer que deux droites sont sécantes.

Le théorème direct de Thalès[modifier | modifier le wikitexte]

Si, dans les figures suivantes, les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

Configuration « triangle »

Thalès

Configuration « papillon »

Thalès

alors il y a proportionnalité dans le tableau :

Petites Longueurs AD AE DE
Grandes Longueurs AB AC BC

Exemple dans la configuration « triangle »[modifier | modifier le wikitexte]

Si AB = cm, AD = cm et AE = cm. Calculer AC.

il y a proportionnalité dans le tableau :

Petites Longueurs AD = 2 AE = 3 DE
Grandes Longueurs AB = 5 AC = ? BC

le coefficient de proportionnalité est : \frac{5}{2} = 2,5 donc AC = AE\times2,5 = {3 cm}\times 2,5 = 7,5 cm

Exemple dans la configuration « papillon »[modifier | modifier le wikitexte]

Si AB = 3,5 cm, AD = cm et AE = 2,5 cm. Calculer AC.

il y a proportionnalité dans le tableau :

Petites Longueurs AD = 2 AE = 2,5 DE
Grandes Longueurs AB = 3,5 AC = ? BC

le coefficient de proportionnalité est : \frac{3,5}{2} = 1,75 donc AC = AE\times1,75 = {2,5 cm}\times 1,75 = 4,375 cm

Exercices[modifier | modifier le wikitexte]

Faites des exercices sur le théorème de Thalès

Remarques[modifier | modifier le wikitexte]

  • Il faut que le point pivot A apparaisse 4 fois dans les deux premières colonnes du tableau.

Nous expliquons en approfondissements pourquoi on déconseille aux élèves de troisième d'utiliser les longueurs BD et EC dans leur tableau de proportionnalité.

  • On peut énoncer le théorème direct de Thalès avec des rapports de longueurs.
  • Peut-être êtes-vous intéressé par une démonstration du théorème de Thalès ?

La réciproque du théorème de Thalès[modifier | modifier le wikitexte]

Version « triangle »[modifier | modifier le wikitexte]

Si A, D et B sont alignés dans cet ordre,

si A, E et C sont alignés dans cet ordre,

et si on a égalité des rapports : \frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}

alors on est dans une configuration "triangle" et les droites (DE) et (BC) sont parallèles

de plus on a égalité des trois rapports \frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}

Exemple[modifier | modifier le wikitexte]

Si D, A et B sont alignés dans cet ordre; E, A et C sont alignés dans cet ordre,

avec AB = 10 cm, AD = cm, AE = cm et AC = 15 cm

alors :

\frac{AC}{AE}=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}=2,5

\frac{AB}{AD}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}=2,5

et d'après la réciproque du théorème de Thalès, on est dans une configuration "triangle" et les droites (DE) et (BC) sont parallèles

de plus, on a : \frac{BC}{DE}=2,5

Version « papillon »[modifier | modifier le wikitexte]

Si D, A et B sont alignés dans cet ordre,

si E, A et C sont alignés dans cet ordre,

et si on a égalité des rapports : \frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}

alors on est dans une configuration "papillon" et les droites (DE) et (BC) sont parallèles

de plus on a égalité des trois rapports \frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}

Exemple[modifier | modifier le wikitexte]

Si D, A et B sont alignés dans cet ordre; E, A et C sont alignés dans cet ordre, AB = cm, AD = cm, AE = cm et AC = 8,75 cm alors :

\frac{AC}{AE}=\frac{8,75}{5}=1,75

\frac{AB}{AD}=\frac{7}{4}=1,75

alors d'après la réciproque du théorème de Thalès, on est dans une configuration "papillon" et les droites (DE) et (BC) sont parallèles

de plus, on a : \frac{BC}{DE}=1,75

Exercices[modifier | modifier le wikitexte]

Faites des exercices sur la réciproque du théorème de Thalès

Remarque[modifier | modifier le wikitexte]

L'important ici est que les deux triplets de points soient alignés, dans le même ordre, on pourrait donc résumer ces deux versions en une seule. Mais il n'y aurait plus moyen de savoir dans quelle configuration on se trouve.

Contraposée du théorème de Thalès[modifier | modifier le wikitexte]

Début d'un théorème
Fin du théorème




Exemple[modifier | modifier le wikitexte]

Dans la figure ci-dessous, démontrer que les droites (PM) et (BE) sont sécantes.

Thalès

Exercices[modifier | modifier le wikitexte]

Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Théorème de Thalès.



Liens[modifier | modifier le wikitexte]

Animations[modifier | modifier le wikitexte]

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Exercices interactifs[modifier | modifier le wikitexte]

Sur les différent théorèmes de Thalès[modifier | modifier le wikitexte]


Triangles et parallèles
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