Triangles et parallèles/Théorème de Thalès
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| Chapitre 2 | |||
| Leçon : Triangles et parallèles | |||
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| Chap. préc. : | Théorème des milieux | ||
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Triangles et parallèles/Théorème de Thalès », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
[modifier] Sur l'utilité des différents énoncés du théorème de Thalès
- Le théorème direct de Thalès sert à calculer des longueurs.
- Le théorème réciproque sert à démontrer que deux droites sont parallèles.
- La contraposée du théorème sert à démontrer que deux droites sont sécantes.
[modifier] Le théorème direct de Thalès
Si, dans les figures suivantes, les droites (DE) et (BC) sont parallèles.
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Configuration « triangle »  |
Configuration « papillon »  |
alors il y a proportionnalité dans le tableau :
| Petites Longueurs | AD | AE | DE |
| Grandes Longueurs | AB | AC | BC |
[modifier] Exemple dans la configuration « triangle »
Si AB = 5 cm, AD = 2 cm et AE = 3 cm. Calculer AC.
il y a proportionnalité dans le tableau :
| Petites Longueurs | AD = 2 | AE = 3 | DE |
| Grandes Longueurs | AB = 5 | AC = ? | BC |
le coefficient de proportionnalité est : 
donc 
[modifier] Exemple dans la configuration « papillon »
Si AB = 3,5 cm, AD = 2 cm et AE = 2,5 cm. Calculer AC.
il y a proportionnalité dans le tableau :
| Petites Longueurs | AD = 2 | AE = 2,5 | DE |
| Grandes Longueurs | AB = 3,5 | AC = ? | BC |
le coefficient de proportionnalité est : 
donc 
[modifier] Exercices
Faites des exercices sur le théorème de Thalès
[modifier] Remarques
- Il faut que le point pivot A apparaisse 4 fois dans les deux premières colonnes du tableau.
Nous expliquons en approfondissements pourquoi on déconseille aux élèves de troisième d'utiliser les longueurs BD et EC dans leur tableau de proportionnalité.
- On peut énoncer le théorème direct de Thalès avec des rapports de longueurs.
- Peut-être êtes-vous intéressé par une démonstration du théorème de Thalès ?
[modifier] La réciproque du théorème de Thalès
[modifier] Version « triangle »
Si A, D et B sont alignés dans cet ordre,
si A, E et C sont alignés dans cet ordre,
et si on a égalité des rapports : 
alors on est dans une configuration "triangle" et les droites (DE) et (BC) sont parallèles
de plus on a égalité des trois rapports :
[modifier] Exemple
Si D, A et B sont alignés dans cet ordre; E, A et C sont alignés dans cet ordre,
avec AB = 10 cm, AD = 4 cm, AE = 6 cm et AC = 15 cm
alors :
et d'après la réciproque du théorème de Thalès, on est dans une configuration "triangle" et les droites (DE) et (BC) sont parallèles
de plus, on a : 
[modifier] Version « papillon »
Si D, A et B sont alignés dans cet ordre,
si E, A et C sont alignés dans cet ordre,
et si on a égalité des rapports :
alors on est dans une configuration "papillon" et les droites (DE) et (BC) sont parallèles
de plus on a égalité des trois rapports :
[modifier] Exemple
Si D, A et B sont alignés dans cet ordre; E, A et C sont alignés dans cet ordre, AB = 7 cm, AD = 4 cm, AE = 5 cm et AC = 8,75 cm alors :
alors d'après la réciproque du théorème de Thalès, on est dans une configuration "papillon" et les droites (DE) et (BC) sont parallèles
de plus, on a : 
[modifier] Exercices
Faites des exercices sur la réciproque du théorème de Thalès
[modifier] Remarque
L'important ici est que les deux triplets de points soient alignés dans le même ordre, on pourrait donc résumer ces deux versions en une seule. Mais il n'y aurait plus moyen de savoir dans quelle configuration on se trouve.
[modifier] Contraposée du théorème de Thalès
Si D, A et B sont alignés,
si E, A et C sont alignés,
et si on a des rapports différents : 
alors les droites ((BC) et (DE) sont sécantes (c'est-à-dire non parallèles).
Remarque : Trois configurations sont ici possibles : triangle, papillon ou croisée. Se reporter aux figures de la réciproque.
[modifier] Exemple
Dans la figure ci-dessous, démontrer que les droites (PM) et (BE) sont sécantes.
Solution : P, H et E sont alignés ; B, H et M sont alignés ;
et :
alors d'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (DE) et (BC) sont sécantes.
[modifier] Exercices
| Voir les exercices sur : Théorème de Thalès. |
[modifier] Liens
[modifier] Animations
Site du kangourou : Une animation flash édifiante
[modifier] Exercices interactifs
[modifier] Sur les différent théorèmes de Thalès
- Sur Wikipédia : un article de qualité sur le théorème de Thalès (mais de niveau assez élevé)
- En Suisse, le théorème est principalement approché grâce à la « petite propriété de Thalès » française. Le « théorème de Thalès suisse » exprime par contre la hauteur dans un triangle rectangle. [1]
- Article de Wikipédia sur le théorème de Thalès dans les pays anglo-saxons : c'est le théorème du triangle rectangle inscrit dans un cercle, vu en quatrième (voir le cours de wikilivres correspondant).
- Dans le triangle, le théorème des milieux est un cas particulier du théorème de Thalès.
