Topologie générale/Exercices/Topologie de R ou C

Exercice 1

1.— Soit $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite réelle bornée telle que $u_{n+1}-u_{n}\rightarrow 0$. Montrer que l’ensemble des valeurs d'adhérence de la suite est un segment non vide de $\mathbb {R}$.

Solution

• L'existence d'au moins une valeur d'adhérence est garantie par le fait que la suite est bornée dans $\mathbb {R}$ localement compact.
• Supposons que a et b soient valeurs d'adhérence de la suite (avec par exemple $a<b$)

Soit $c\in ]a,b[$. Montrons que c est aussi valeur d'adhérence de la suite :

Soit $n_{0}\in \mathbb {N}$ et $\varepsilon >0$

$\exists N_{0}\in \mathbb {N} ,\forall n\in \mathbb {N} ,n\geq N_{0}\Rightarrow |u_{n+1}-u_{n}|<\varepsilon$

Quitte à le remplacer par $max(N_{0},n_{0})$ on peut considérer $N_{0}\geq n_{0}$.

Comme a et b valeurs d'adhérence de la suite, alors

$\exists n_{1}\geq N_{0},|u_{n_{1}}-a|<{\frac {c-a}{2}}\;$$\;$ $\;\;(1)\;$

et

$\exists n_{2}\geq N_{0},|u_{n_{2}}-b|<{\frac {b-c}{2}}\;$$\;$ $\;\;(2)\;$

Supposons par exemple $n_{1}\leq n_{2}$ :

Considérons $E=$ { $n\in [|n_{1};n_{2}|]\ /\;u_{n}<c$ }

On a : $n_{1}\in E\ \;\;$ (par (1))

et $\;n_{2}\notin E\;\;$ (par (2))

E est non vide et inclus dans $[|n_{1};n_{2}-1|]$ majoré, donc il admet un maximum N qui vérifie :

$u_{N}<c\leq u_{N+1}\;et\;|u_{N+1}-u_{N}|<\varepsilon \;$ $\;(carN\geq N_{0})$

D'où $|c-u_{N}|=c-u_{N}<\varepsilon$

Conclusion : on a bien montré que $\forall n_{0}\in \mathbb {N} ,\;\forall \varepsilon >0,\;\exists N\in \mathbb {N} ,\;N>n_{0}\;\;et\;|u_{N}-c|<\varepsilon$

c'est-à-dire que $c$ est valeur d'adhérence de la suite.

Ainsi, l’ensemble des valeurs d'adhérence de la suite est un intervalle I non vide, borné de $\mathbb {R}$

Enfin, I est fermé, comme tout ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite. Donc I est un segment.

 

2.— Soit $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ une fonction continue et $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ définie par $u_{0}\in [0,1]$ et la relation $\forall n\in \mathbb {N} ,u_{n+1}=f(u_{n})$. Montrer que la suite converge si et seulement si $u_{n+1}-u_{n}\rightarrow 0$.

Solution

Remarquons d'abord que toute valeur d'adhérence de la suite est un point fixe de la fonction. En effet, si $u_{\varphi (n)}\to \ell$ alors $u_{\varphi (n)+1}=f\left(u_{\varphi (n)}\right)\to f(\ell )$, or $u_{\varphi (n)+1}-u_{\varphi (n)}\to 0$, donc $f(\ell )=\ell$.

D'après la question 1, l'ensemble des valeurs d'adhérence est un segment $\left[a,b\right]\subset \left[0,1\right]$ et d'après la remarque, ce segment est constitué de points fixes. Montrons par l'absurde que $a=b$. Si $a<b$ alors la suite prend au moins une fois (et même une infinité de fois) ses valeurs dans $\left]a,b\right[$ ; elle est alors stationnaire, ce contredit bien l'hypothèse. Par conséquent, la suite n'a qu'une valeur d'adhérence, donc converge vers cette valeur.

 

Exercice 2

Soit $G$ un sous-groupe additif non nul de $\mathbb {R}$. On note $G^{+}$ l'ensemble (non vide et minoré) des éléments strictement positifs de $G$ et $a$ sa borne inférieure.

1. Montrer que si $a>0$ alors $G=a\mathbb {Z}$.
2. Montrer que si $a=0$ alors $G$ est dense dans $\mathbb {R}$.
3. Décrire les sous-groupes fermés de $\mathbb {R}$.
4. Soit $\lambda \in \mathbb {R}$. Montrer que le sous-groupe $G=\mathbb {Z} +\lambda \mathbb {Z}$ est dense dans $\mathbb {R}$ si et seulement si $\lambda \notin \mathbb {Q}$.

Solution

1. Si $a>0$ alors :
   • $a$ appartient à $G$. En effet, sinon, il existerait dans $G$ une suite $(g_{n})$ strictement décroissante et de limite $a$, et $(g_{n}-g_{n+1})$ serait alors une suite de $G^{+}$ convergeant vers 0, ce qui contredirait $a>0$.
   • $\mathbb {Z} a\subset G$ car $a$ appartient à $G$ et $G$ est stable par additions et opposés.
   • $G\subset \mathbb {Z} a$ car pour tout élément $g$ de $G$, en notant $n$ la partie entière de $g/a$ on a $na\leq g<(n+1)a$, c'est-à-dire $0\leq g-na<a$. Comme par ailleurs $g-na$ appartient à $G$, on en déduit (par définition de $a$) que $g-na=0$, d'où $g=na\in \mathbb {Z} a$.
   • $G=a\mathbb {Z}$ d'après les deux inclusions précédentes.
2. Si $a=0$ alors pour tout $\varepsilon >0$, il existe un élément $g$ de $G$ tel que $0<g<\varepsilon$. Tout intervalle de longueur $\varepsilon$ contient alors au moins un multiple entier de $g$ et ce multiple appartient à $G$, donc $G$ est dense.
3. Les sous-groupes fermés de $\mathbb {R}$ sont donc $\mathbb {R}$, $\{0\}$ et les $a\mathbb {Z}$ pour tout réel $a>0$.
4. $\mathbb {Z} +\lambda \mathbb {Z}$ est non dense si et seulement s'il existe un réel $a>0$ tel que $1,\lambda \in a\mathbb {Z}$ et $a\in \mathbb {Z} +\lambda \mathbb {Z}$, c'est-à-dire s'il existe deux entiers $n>0$ et $m$ tels que $\lambda ={\frac {m}{n}}$ et ${\frac {1}{n}}\in \mathbb {Z} +{\frac {m}{n}}\mathbb {Z}$ (autrement dit, d'après le théorème de Bézout : $m$ et $n$ premiers entre eux), donc si et seulement si $\lambda \in \mathbb {Q}$.

 

Exercice 3

1. Quels sont les sous-groupes multiplicatifs non denses de $\mathbb {R} _{+}^{*}$ ? (Indication : regarder l'image par $\ln$ et utiliser l'exercice précédent). En déduire les sous-groupes multiplicatifs non denses de $\mathbb {R} ^{*}$.
2. Montrer qu'un sous-groupe multiplicatif de $U:=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|=1\}$ est soit cyclique d'ordre fini, soit dense dans $U$. (Indication : utiliser l'application $x\mapsto \exp(\mathrm {i} x)$.)
3. Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite $(\cos n)_{n\in \mathbb {N} }$ est $\left[-1,1\right]$.

Solution

1. • Soient $H$ un tel sous-groupe et $G$ son image dans $\mathbb {R}$ par l'homéomorphisme $\ln$. Alors, $G$ n'est pas dense dans $\mathbb {R}$. Il est donc de la forme $G=a\mathbb {Z}$ avec $a\in \mathbb {R} _{+}$, et $H=\exp(G)=\{b^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}$ pour $b=\exp a\geq 1$. Réciproquement, toute partie $H\subset \mathbb {R} _{+}^{*}$ de cette forme est un sous-groupe non dense.
   • Soient $K$ un sous-groupe de $\mathbb {R} ^{*}$ non inclus dans $\mathbb {R} _{+}^{*}$, puis $H=K\cap \mathbb {R} _{+}^{*}$ et $c\in K\setminus H$ (donc $K=H\cup cH$). Si $H$ est dense dans $\mathbb {R} _{+}^{*}$, $K$ est dense dans $\mathbb {R} ^{*}$. Si $H=\{1\}$, $K=\{-1,1\}$. Si $H=\{b^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}$ avec $b>1$, comme $c^{2}\in H$, il existe $n_{0}\in \mathbb {Z}$ tel que $c=-b^{n_{0}/2}$, et en remplaçant $c$ par son produit par une puissance adéquate de $b$, on peut se ramener à $n_{0}=0$ ou $1$ (selon la parité de $n_{0}$). Si $n_{0}=0$, $K=\{\pm b^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}$. Si $n_{0}=1$, $K=\{d^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}$ avec $d=-{\sqrt {b}}$.
2. Soient $H$ un tel sous-groupe et $G$ son image réciproque par l'application $g:\mathbb {R} \to U,x\mapsto \exp(\mathrm {i} x)$ (donc $2\pi \in G$). Si $G$ est dense dans $\mathbb {R}$, $H$ est dense dans $U$ (car $\mathbb {R} ={\overline {G}}={\overline {g^{-1}(H)}}\subset g^{-1}({\overline {H}})$ donc $U=g(\mathbb {R} )\subset {\overline {H}}$). Si $G=a\mathbb {Z}$ alors $\exists n\in \mathbb {Z} \quad a=2\pi /n$ donc $H=$ le sous-groupe des $n$ racines $n$-ièmes de l'unité.
3. Soit $H=\{\exp(\mathrm {i} n)\mid n\in \mathbb {Z} \}$. D'après la question précédente, $H$ est dense dans $U$. Or l'application « partie réelle » $p:\mathbb {C} \to \mathbb {R}$ est continue, donc ${\overline {p(H)}}\supset p({\overline {H}})=p(U)=[-1,1]$. L'ensemble $\{\cos n\mid n\in \mathbb {N} \}=p(H)$ est donc dense dans $[-1,1]$. Par conséquent, tout élément de $[-1,1]$ est point d'accumulation de cet ensemble donc valeur d'adhérence de la suite.