Continuité et variations/Langage de la continuité
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| Chapitre 1 | |||
| Leçon : Continuité et variations | |||
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| Chap. suiv. : | Théorème des valeurs intermédiaires | ||
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Continuité et variations/Langage de la continuité », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Sommaire |
[modifier] Définition de la continuité
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Définition |
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Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I.
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- Cette situation s'oppose à la suivante : une fonction f est discontinue en un point a si la courbe de f présente une "coupure" en x=a qui oblige à "lever le crayon" pour parcourir la courbe.
[modifier] Continuité des fonctions usuelles
La dérivabilité est un critère utile de continuité pour les fonctions usuelles.
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Théorème |
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Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I. Si f est dérivable en a alors f est continue en a. |
Remarque:
- La réciproque est fausse : la fonction racine carrée est continue en 0 mais non dérivable en 0.
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Théorème |
sont continues sur les intervalles qui forment leur ensemble de définition. |
[modifier] Exemple
La fonction inverse est continue sur ![]-\infty;0[](http://upload.wikimedia.org/math/b/5/0/b506be48eafe7c01cce18da0d9f808f4.png)
et est continue sur ![]0;+\infty[](http://upload.wikimedia.org/math/a/b/e/abe7a92275e0c5644d5bd5c819fa694e.png)
.
Mais elle n'est pas continue sur 
car non définie sur 
tout entier.
De plus, cela n'a pas de sens pour nous de se demander si elle est continue sur ![]-\infty;0[\cup ]0;+\infty[](http://upload.wikimedia.org/math/8/2/d/82d691eebf2c49f2f9bf349d95898183.png)
car on n'a défini la continuité que sur un intervalle.
[modifier] La fonction partie entière
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Définition |
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La fonction partie entière est définie sur |
. alors E(x)=nLa fonction partie entière n'est pas continue sur car elle présente des discontinuités pour tous les entiers.
