Arithmétique/Théorèmes de Bézout et Gauss

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**Théorèmes de Bézout et Gauss**
Leçon : Arithmétique

Chapitre 4
Chap. préc. :	Nombres premiers
Chap. suiv. :	PPCM

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Arithmétique/Théorèmes de Bézout et Gauss », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Théorème de Bézout
- 1.1 Identité de Bézout
- 1.2 Théorème de Bézout
2 Théorème de Gauss
- 2.1 Énoncé du théorème
- 2.2 Conséquence

[modifier] Théorème de Bézout

[modifier] Identité de Bézout

L'identité de Bézout est aussi appelée Petit théorème de Bézout.

Identité de Bézout

$a\,$ et $b\,$ sont deux entiers naturels différents de 0 tels que : $pgcd(a,b)=d.\,$
$\exists (u,v)\in \mathbb{Z}^2, au+bv = d$

Exemple

Soient $a=150\,$ et $b=24\,$ . On a $pgcd(a,b) = 6\,$ .

$u = 1, v = -6\,$ vérifient l'identité de Bézout
$u = 5, v = -31\,$ font de même

Remarque : Le couple $(u,v)\,$ n'est pas unique.

Démonstration

A venir

[modifier] Théorème de Bézout

Théorème de Bézout

Soient $a\,$ et $b\,$ deux entiers relatifs non nuls ; $a\,$ et $b\,$ sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs $u\,$ et $v\,$ tels que $au+bv = 1.\,$

Exemple

Soient $a = 7\,$ et $b = 9\,$
Avec $u = 4\,$ et $v = -3\,$ on trouve $au+bv = 1\,$ donc 7 et 9 sont premiers entre eux.

Exemple

Démontrer que deux entiers consécutifs sont premiers entre eux.
On note $n\,$ et $n+1\,$ ces entiers.
On a : $1\times (n+1)-1\times n = 1$
Il existe donc une relation $un+v(n+1) = 1\,$ , donc $n\,$ et $n+1\,$ sont premiers entre eux.

[modifier] Théorème de Gauss

[modifier] Énoncé du théorème

Théorème de Gauss (3 exemples de l'énoncé)

Si un entier naturel divise un produit de deux facteurs et s'il est premier avec l'un d'eux, alors il divise l'autre.

Soient $a\,$ et $b\,$ des entiers relatifs, si $d\,$ divise $ab\,$ et $d\,$ est premier avec $a\,$ alors $d\,$ divise $b\,$ .

$a\,$ , $b\,$ et $c\,$ sont 3 entiers naturels non nuls. Si $a|bc\,$ et si $a\,$ est premier avec $b\,$ , alors $a|c.\,$

Démonstration

Question du BAC 2006 : Démontrez le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.
On a $pgcd(a,b)=1 \Rightarrow au+bv = 1$ avec $(u,v)\in \mathbb{Z}^{*2}$
De plus, $a|bc \Rightarrow bc=aq$ avec $q\in \mathbb{N}^*$
$\begin{align}au+bv = 1 & \Rightarrow auc+bvc = c \\ & \Rightarrow auc+aqv=c \\ & \Rightarrow a(uc+vq) = c \\ \end{align}$
D'où $a|c\,$