Série entière/Exercices/Rayon de convergence 1

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**Rayon de convergence 1**
Leçon : Série entière

Exercice 1

Cet exercice est de niveau 14.

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Rayon de convergence 1
Série entière/Exercices/Rayon de convergence 1 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Déterminer le rayon de convergence de chacune des séries entières suivantes :

$\sum_{n \ge 2} (\ln (n))x^n$

Solution

Il faut utiliser le critère de d'Alembert. Soit $a n = ln(n)$

$\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{\ln(n+1)}{\ln(n)}.$ Or $\lim_{n\to \infty} \frac{\ln(n+1)}{\ln(n)} = 1 = \lambda$

Le rayon de convergence est égal à $\tfrac{1}{\lambda}$ donc RCV = 1.

$\sum_{n \ge 1}\frac{n^n}{n!}x^n$

Solution

Soit $b_n = \frac{n^n}{n!}.$ D'Alembert : $\left| \frac{b_{n+1}}{b_n} \right|$

$\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\times \frac{n!}{n^n} = \frac{(n+1)^n}{n^n} = \frac{(n(1+\tfrac{1}{n}))^n}{n^n} = (1+\tfrac{1}{n})^n.$

Et on a vu dans l'exercice 9 dans le chapitre sur les séries numériques, que $\lim_{n\rightarrow \infty} (1+\tfrac{1}{n})^n = e$

$R = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{e}$

$\sum_{n \ge 2}\frac{n \ln(n)}{n^2+1}x^n$

Solution

Soit $c_n = \frac{n \ln(n)}{n^2+1}.$ D'Alembert : $\left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|$

$=\frac{(n+1)\ln(n+1)}{(n+1)^2+1} \times \frac{n^2+1}{n\ln(n)}$

$=\frac{n\ln(n(1+\tfrac{1}{n})) + \ln(n(1+\tfrac{1}{n}))}{n\ln(n)} \times \frac{n^2+1}{n^2+2n+2}$

$= \frac{n\ln(n) + n\ln(1+\tfrac{1}{n}) + \ln(n) + \ln(1+\tfrac{1}{n})}{n\ln(n)} \times \frac{(1+\tfrac{1}{n^2})}{(1 + \tfrac{2}{n} + \tfrac{2}{n^2})}$

$= \left( 1 + \frac{\ln(1+\tfrac{1}{n})}{\ln(n)} + \frac{1}{n} + \frac{\ln(1+\tfrac{1}{n})}{n\ln(n)} \right) \times \frac{(1+\tfrac{1}{n^2})}{(1 + \tfrac{2}{n} + \tfrac{2}{n^2})}$

Et $\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(1+\tfrac{1}{n})}{\ln(n)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(1+\tfrac{1}{n})}{n\ln(n)} = 0$ et $\lim_{n \to \infty} \frac{(1+\tfrac{1}{n^2})}{(1 + \tfrac{2}{n} + \tfrac{2}{n^2})} = 1$ donc $\lambda = 1\,$ donc $R = 1\,$

$\sum_{n \ge 0}\frac{x^{2n}}{\binom{2n}{n}}$

Solution

C'est bien une série entière de la forme $\sum_{n \ge 0} d_n x^n$ mais

$d_n = \begin{cases} 0, & \mbox{si }n\mbox{ est impair} \\ \frac{1}{\binom{2k}{k}} = \frac{1}{\binom{n/2}{n}}, & \mbox{si }n\mbox{ est pair}\quad n=2k. \end{cases}$

On ne peut donc pas appliquer la règle de d'Alembert ! Le rapport $\tfrac{d_{n+1}}{d_n}$ n'est pas défini si $n$ est pair. Pour $x$ un réel fixé et non nul, on étudie la convergence absolue de la série numérique $\sum_{n \ge 0}\frac{x^{2n}}{\binom{2n}{n}}$ . Posons $u_n = \frac{x^{2n}}{\binom{2n}{n}}$ et étudions la nature de la série à termes positifs $\sum_{n \ge 0} |u_n|$

$\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|} = \frac{x^{2(n+1)}}{\binom{2(n+1)}{n+1}} \times \frac{\binom{2n}{n}}{x^{2n}}$

$= \frac{x^{2n}x^2}{x^{2n}} \times \frac{\tfrac{(2n)!}{n!n!}}{\tfrac{(2(n+1))!}{(n+1)!(n+1)!}} = x^2\times \frac{(2n)!}{n!n!} \times\frac{n!(n+1)n!(n+1)}{(2n)!(2n+1)(2n+2)}$

$=x^2\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}$

Et $\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)} = \frac{1}{4}.$ D'après le critère de d'Alembert, si $\frac{x^2}{4} < 1$ , ce qui équivaut à $x 2 < 4$ , ce qui équivaut à $x < | 2 |$ , alors $\sum_{n \ge 0} u_n$ converge absolument.

En revanche, si $|x| > 2, \sum_{n \ge 0} |u_n|$ diverge (grossièrement) donc $\sum_{n \ge 0} u_n$ diverge.

Ainsi,

Si $|x| < 2,\ \sum_{n \ge 0}\frac{x^{2n}}{\binom{2n}{n}}$ converge absolument,
si $|x| > 2,\ \sum_{n \ge 0}\frac{x^{2n}}{\binom{2n}{n}}$ diverge.

On en déduit que $R = 2$ .

Autre méthode : on considère la série entière de la variable y, $\sum_{n \ge 0} \frac{1}{\binom{2n}{n}} y^n$ , de la forme $\sum_{n \ge 0} b_n y^n, b_n = \frac{1}{\binom{2n}{n}} \ne 0.$

On peut appliquer le critère de d'Alembert pour déterminer son rayon de convergence.

$\left| \frac{b_{n+1}}{b_n} \right| = \frac{\binom{2n}{n}}{\binom{2(n+1)}{n+1}}$

$= \frac{(2n)!}{(2(n+1))!} \times\frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \frac{1}{4}$ donc $\sum_{n \ge 0} b_n y^n$ a pour rayon de convergence 4.

Si $|x| < 4,\ \sum_{n \ge 0}\frac{1}{\binom{2n}{n}}y^n$ converge absolument,
si $|x| > 4,\ \sum_{n \ge 0}\frac{1}{\binom{2n}{n}}y^n$ diverge.

En posant $y = x^2\,$ , on en déduit que si $|x^2| < 4\,$ , donc

si $|x| < 2, \sum_{n \ge 0}\frac{1}{\binom{2n}{n}}x^{2n}$ converge absolument,
si $|x| > 2,\ \sum_{n \ge 0}\frac{1}{\binom{2n}{n}}x^{2n}$ diverge.

D'où $R = 2.$

$\sum_{n \ge 0}(-1)^n\frac{5^n}{n^3+1}x^{2n+1}$

Solution

Les premiers termes de cette série sont : $x - \tfrac{5}{2} x^3 + \tfrac{25}{9} x^5 - \cdots$ Ils s'expriment bien sous la forme $\sum_{n \ge 0}e_n x^n$ , mais

$e_n = \begin{cases} 0, & \mbox{si }n\mbox{ est pair} \\ (-1)^k\frac{5^k}{k^3+1}, & \mbox{si }n\mbox{ est impair}\quad n=2k+1. \end{cases}$

Pour $x$ un réel fixé et non nul, on étudie la convergence absolue de la série numérique $\sum_{n \ge 0}u_n$ ou $u_n = (-1)^n\frac{5^n}{n^3+1}x^{2n+1}.$

$\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|} = \frac{5^{n+1}}{(n+1)^3+1}|x|^{2n+3} \times \frac{n^3+1}{5^n}\frac{1}{|x|^{2n+1}}$

$= 5x^2\frac{n^3+1}{(n+1)^3+1} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 5x^2$

D'après le critère de d'Alembert, si $5x^2 < 1\,$ , ce qui équivaut à $x^2 < \tfrac{1}{5}$ , ce qui équivaut à $|x| < \tfrac{1}{\sqrt{5}}$ , alors $\sum_{n \ge 0}u_n$ converge absolument.

Si $5x^2 > 1\,$ , ce qui équivaut à $|x| > \tfrac{1}{\sqrt{5}}$ , alors $\sum_{n \ge 0}u_n$ diverge grossièrement. Donc le rayon de convergence de la série est $\tfrac{1}{\sqrt{5}}$ .

$\sum_{n \ge 0}\sin(\pi\sqrt{n^2+1})z^n$

Solution

$|f_n| = |\sin(\pi\sqrt{n^2+1})|=|\sin(n\pi\sqrt{1+\frac{1}{n^2}})|$ donc $|f_n|=|\sin(n\pi(1-\frac{1}{2n^2}+o(\frac{1}{n^2}))|=|\sin(n\pi-\frac{\pi}{2n}+o(\frac{1}{n})|=|\sin(\frac{\pi}{2n}+o(\frac{1}{n})|$ Ainsi, on a l'équivalent $| f n |$ est équivalent à $\frac{\pi}{2n}$ donc le rapport $|\frac{f_{n+1}}{f_n}|$ tend vers 1 et donc $R = 1$