Série de Fourier/Étude de la convergence

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Considérons la suite des sommes partielles :

$S_{N,f}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}\cos \left({\frac {2\pi n}{T}}x\right)+b_{n}\sin \left({\frac {2\pi n}{T}}x\right)\right)$

Les termes $a_{n}\cos \left({\frac {2\pi n}{T}}x\right)+b_{n}\sin \left({\frac {2\pi n}{T}}x\right)$ peuvent aussi s'écrire $\alpha _{n}\cos \left({\frac {2\pi n}{T}}x+\varphi _{n}\right)$

où $\alpha _{n}={\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}$ et $\tan(\varphi _{n})=-{\frac {b_{n}}{a_{n}}}$

On appelle première harmonique le terme : $\alpha _{1}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}x+\varphi _{1}\right)$

De même on appelle n-ième harmonique le terme : $\alpha _{n}\cos \left({\frac {2\pi n}{T}}x+\varphi _{n}\right)$

Plus l'indice $n$ augmente et tend vers l'infini, plus la suite des sommes partielles tend vers la fonction $f$ qui est, le plus généralement, exprimée en morceaux. La série de Fourier converge alors vers la fonction de départ.