Série de Fourier/Généralités

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Nous partons d’une fonction réelle ou complexe $f$ de période $T>0$, définie sur un intervalle de longueur $T$, par exemple $[0;T]$ ; nous supposons que les formules d’Euler-Fourier lui sont applicables, et nous associons à $f$ la série trigonométrique qui possède les coefficients ainsi calculés. On dit que cette série est la série de Fourier de $f$.

Le problème qui se pose est double : étudier la convergence de la série de Fourier ainsi associée à $f$ ; si cette série converge, chercher si elle représente la fonction $f$.

Propriétés des coefficients de Fourier de $f$

À la fonction $f$, réelle ou complexe, intégrable sur $[0;T]$, nous associons les deux suites de coefficients :

Coefficients de Fourier de $f\,{\begin{cases}a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(x)\cos \left({\frac {2\pi n}{T}}x\right)dx\;(n\geq 0)\\b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(x)\sin \left({\frac {2\pi n}{T}}x\right)dx\;(n>0)\end{cases}}$

Début d’un théorème

Théorème 1

Si f est intégrable sur [0 ; T], $a_{n}$ et $b_{n}$ tendent vers 0 quand n $\rightarrow +\infty$.

Fin du théorème

Début d’un théorème

Théorème 2

Si f admet sur [0 ; T] une dérivée première continue, et si $f(0)=f(T)$, $na_{n}$ et $nb_{n}$ tendent vers 0.

Fin du théorème

Début d’un théorème

Théorème 3

Si f est continûment dérivable sur [0 ; T] jusqu'à l’ordre k, et si chacune des fonctions $f,f',\ldots ,f^{(k-1)}$ prend les mêmes valeurs en 0 et T, alors $n^{k}a_{n}$ et $n^{k}b_{n}$ tendent vers 0.

Fin du théorème

Début d’un théorème

Théorème 4

Si f est réelle, bornée et monotone par morceaux sur [0 ; T] , les suites $(na_{n})$ et $(nb_{n})$ sont bornées.

Fin du théorème

Début d’un théorème

Théorème 5

Si f est intégrable sur [0 ; T], la série $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{n}}$ converge.

Fin du théorème