Relation (mathématiques)/Définition

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**Définition**
Leçon : Relation (mathématiques)

Chapitre 1
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Chap. suiv. :	Relation d'équivalence

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[modifier] Définition

Définition

Une relation binaire $\mathcal{R}$ d'un ensemble $E$ vers $F$ est un triplet $(E,F,\mathcal{G})$ où $\mathcal{G}$ est un sous ensemble de $E \times F$ . Si $(x,y) \in G$ , on dit que $x$ est en relation avec $y$ et on note $x\mathcal{R}y$ .

$\mathcal{G}$ est appelé graphe de la relation $R$ .

Si $x\mathcal{R}y$ ou $y\mathcal{R}x$ , $x$ et $y$ sont en relation.

Cependant les éléments de $E$ ne sont pas toujours en relation avec tous les éléments de $F$ . Dans ce cas, la relation est dite partielle. Sinon, si tous les éléments de $E$ et de $F$ sont en relation, on dit que la relation est totale.

Définition

La relation $\mathcal{R}$ est dite totale si et seulement si $\forall (x,y) \in \mathcal{G}, x\mathcal{R}y \vee y\mathcal{R}x$

[modifier] Relation sur un ensemble

Si $E = F$ , on dit que $\mathcal{R}$ est une relation sur $E$ . Cette relation est :

réflexive si $\forall x \in E, xRx$
symétrique si $(\forall x,y \in E, xRy)\Rightarrow( yRx ),$
transitive si $(\forall x,y,z\in E, (xRy\, \wedge \, yRz))\Rightarrow (xRz).$
antisymétrique si $(\forall x,y\in E, (xRy\, \wedge\, yRx))\Rightarrow (x=y).$