Résistance et impédance/Résistance

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La résistance

Chapitre no2
Leçon : Résistance et impédance
Chap. préc. :	Loi d'Ohm
Chap. suiv. :	Inductance

   

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Résistance et impédance/Résistance », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Association série

Un circuit composé de plusieurs résistances ($R_1$, $R_2$,$R_3$, ..., $R_n$) connectées en série peut se réduire à une résistance unique équivalente $R_{eq}$, telle que :

Début d'une définition

Valeur de la résistance équivalente avec une association série

$R_{eq}=\sum_{k=1}^n R_k = R_1 + R_2 + R_3 + \cdots + R_n$

Fin de la définition

Début d'une démonstration

Démonstration

Toutes les résistances, puisqu'étant en série, sont obligatoirement parcourues par un même courant i :

• La résistance n^o 1 répond à la loi d'Ohm par : $u_{R_1} = R_1 \times i$
• La résistance n^o 2 répond à la loi d'Ohm par : $u_{R_2} = R_2 \times i$
• La résistance n^o 3 répond à la loi d'Ohm par : $u_{R_3} = R_3 \times i$
• ...
• La résistance n^on répond à la loi d'Ohm par : $u_{R_n} = R_n \times i$

Pour la résistance équivalente :

• La résistance $R_{eq}$ répond à la loi d'Ohm par : $u_{R_{eq}} = R_{eq} \times i$

Le circuit nous permet d'écrire :

$\begin{cases} i_{R_{eq}} = i \\ u_{R_{eq}} = u_{R_1} + u_{R_2} + u_{R_3} + \cdots + u_{R_n} \end{cases}$

Ce qui, en y intégrant le courant, nous donne :

$R_{eq} \times i = R_1 \times i + R_2 \times i + R_3 \times i + \cdots + R_n \times i$

$R_{eq} \times i = ( R_1 + R_2 + R_3 + \cdots + R_n ) \times i$

Et donc, en éliminant i des 2 côtés de l'équation :

$R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3 + \cdots + R_n$

Fin de la démonstration

Association parallèle

Un circuit composé de plusieurs résistances ($R_1$, $R_2$,$R_3$, ..., $R_n$) connectées en parallèle peut se réduire à une résistance unique équivalente $R_{eq}$, tel que :

Début d'une définition

Valeur de la résistance équivalent avec une association parallèle

$R_{eq}=\frac 1 {\sum_{k=1}^n \frac 1 {R_k}} = \frac 1 { \frac 1 {R_1} + \frac 1 {R_2} + \frac 1 {R_3} + \cdots + \frac 1 {R_n}}$

Fin de la définition

Début d'une démonstration

Démonstration

Toutes les résistances, puisqu'étant en parallèle, sont obligatoirement soumises à la même tension u :

• La résistance n^o 1 répond à la loi d'Ohm par : $u = R_1 \times i_{R_1}$
• La résistance n^o 2 répond à la loi d'Ohm par : $u = R_2 \times i_{R_2}$
• La résistance n^o 3 répond à la loi d'Ohm par : $u = R_3 \times i_{R_3}$
• ...
• La résistance n^on répond à la loi d'Ohm par : $u = R_n \times i_{R_n}$

Pour la résistance équivalente :

• La résistance $R_{eq}$ répond à la loi d'Ohm par : $u_{R_{eq}} = R_{eq} \times i_{R_{eq}}$

Le circuit nous permet d'écrire :

$\begin{cases} u_{R_{eq}} = u \\ i_{R_{eq}} = i_{R_1} + i_{R_2} + i_{R_3} + \cdots + i_{R_n} \end{cases}$

$\frac {i_{R_{eq}}}{u_{R_{eq}}} = \frac {i_{R_1} + i_{R_2} + i_{R_3} + \cdots + i_{R_n}} u$

$\frac {i_{R_{eq}}}{u_{R_{eq}}} = \frac {i_{R_1}} u + \frac {i_{R_2}} u + \frac {i_{R_3}} u + \cdots + \frac {i_{R_n}} u$

$\frac 1 {R_{eq}} = \frac 1 {R_1} + \frac 1 {R_2} + \frac 1 {R_3} + \cdots + \frac 1 {R_n}$

$R_{eq} = \frac 1 { \frac 1 {R_1} + \frac 1 {R_2} + \frac 1 {R_3} + \cdots + \frac 1 {R_n}}$

Fin de la démonstration

Particularité

Si on a 2 résistances en parallèle, ou si on travaille par groupes de 2 résistances en parallèle à la fois, on peut utiliser cette formule un peu plus rapide :

$R_{eq} = \frac {R_1 \times R_2 }{ R_1 + R_2 }$

Association mixte

Il suffit tout simplement de travailler alternativement sur un groupe série et parallèle.

Exercices

Voir les exercices sur : Association de résistances.

À partir de ce point vous pouvez faire, sans trop de problème, ces exercices.

Résistance et impédance

Loi d'Ohm

Inductance