Résistance et impédance/Loi d'Ohm

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Loi d'Ohm

Chapitre no1
Leçon : Résistance et impédance
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Le Dipôle résistant, la loi d'Ohm

Définition du dipôle résistant

Début d'une définition

Définition

On appelle dipôle résistant, ou résistor, un dipôle récepteur, non polarisé, dans lequel toute l'énergie électrique est transformée en énergie calorifique.

Fin de la définition

• 

  Résistor

• 

  Ampoule à incandescence

Début de l'exemple

Exemple

Une lampe à incandescence, un radiateur électrique sont des résistors.

Fin de l'exemple

• Contre-Exemple : Un moteur électrique n'en est pas un.

La caractéristique tension courant d'un résistor

Début d'une définition

Définition

On appelle caractéristique tension-courant d'un dipôle, la courbe $U = f(I)$ représentant la tension aux bornes du dipôle en fonction du courant qui la traverse.

Fin de la définition

De même, on peut définir la caractéristique courant-tension.

Interprétation mathématique

Jusqu'à une certaine valeur du courant, la caractéristique est pratiquement une droite qui passe par l'origine des coordonnées
Donc, tant que le courant est inférieur à cette valeur, la caractéristique $U = f(I)$ est de la forme linéaire $y = ax$ soit, ici, $U = aI$ dans laquelle $a$ est une constante.
Ensuite, la caractéristique s'incurve. La caractéristique n'est plus proportionnelle au courant.

La Résistance électrique

Loi d'Ohm

Début d'une définition

Définition

Le rapport ${U \over I}$, de la tension aux bornes du dipôle au courant qui le traverse, est appelé la résistance électrique $R$ du dipôle, au courant $I$.

Fin de la définition

La relation $R = {U \over I}$ définit la résistance.
Son unité s'exprime en volt par ampère. Ce sont aussi des Ohm : $\Omega$

La Loi d'Ohm

Début d'un principe

Principe

Tant que la température du dipôle résistant reste inférieure à une valeur déterminée, la tension à ses bornes est proportionnelle au courant ; la résistance du dipôle est constante.

Fin du principe

L'application de la loi d'Ohm à la mesure de la résistance est une méthode simple (c'est la méthode volt-ampèremétrique) mais elle est peu précise.

Exercices

Voir les exercices sur : Loi d'Ohm 1.

Calcul de la résistance

La méthode voltampèremétrique permet de calculer la résistance d'un conducteur après une mesure (de tension et de courant).
Mais un conducteur est défini par des dimensions et une nature de matière. Il serait aussi logique, en fonction de ces différents paramètres, de pouvoir déterminer une valeur de résistance.

Influence de la longueur

Début d'un principe

Principe

On alimente, en mesurant sa tension et son courant, un morceau de conducteur dont on peut en faire varier la longueur sans modifier ses autres paramètres (section, température) et on remplit un tableau de mesure.

Fin du principe

Longueur	Ampèremètre	Voltmètre	Résistance
0,5 m	100 mA	0,106 V	1,06 $\Omega$
0,75m	100 mA	0,161 V	1,61 $\Omega$
1 m	100 mA	0,210 V	2,10 $\Omega$

Aux incertitudes près, on constate que la résistance évolue de façon proportionnelle avec la longueur de fil utilisée.

Début d'une propriété Propriété

La résistance d'un fil est proportionnelle à la longueur.

Début de la propriété

Influence de la section

Début d'un principe

Principe

On alimente, en mesurant sa tension et son courant, différents conducteurs de sections différentes, mais sans modifier ses autres paramètres (nature du conducteur, température et longueur) et on remplit un tableau de mesure.

Fin du principe

Section	Ampèremètre	Voltmètre	Résistance
0,5 mm²	100 mA	0,637 V	6,37 $\Omega$
0,75 mm²	100 mA	0,424 V	4,24 $\Omega$
1 mm²	100 mA	0,312 V	3,12 $\Omega$
1,5 mm²	100 mA	0,210 V	2,10 $\Omega$

À première vue, on ne peut pas définir une relation directe entre la section et la résistance.
En observant attentivement le tableau, on constate qu'en doublant la section (de 0,5 mm² à 1 mm²), la résistance est presque de moitié (6,37 pour 3,12). On observe le même rapport en comparant 0,5 mm² et 1,5 mm² (rapport de 3) et en comparant 0,75 mm² et 1,5 mm² (rapport de 2).

Début d'une propriété Propriété

La résistance d'un fil est inversement proportionnelle à la section du fil.

Début de la propriété

Influence de la nature du fil

À partir des deux constatations précédentes, en posant $l$ la longueur d'un conducteur et $s$ sa section, on peut écrire que :
$R= k \frac{l}{s}$

Il nous reste à définir le coefficient $k$. Pour cela, on va prendre des conducteurs de matériaux différents et effectuer les mêmes types de mesure que précédemment.

nature du conducteur	$k$
cuivre	$23 \times 10^{-9}$
aluminium	$32 \times 10^{-9}$
fer	$117 \times 10^{-9}$

Début d'une propriété Propriété

La nature du matériau modifie le paramètre $k$.

Début de la propriété

Ce paramètre, lié seulement à la nature du matériau est appelé resistivité du matériau.

Début d'une définition

Définition

On appelle résistivité électrique $\rho$ d'un matériau, le coefficient qui entre dans le calcul de sa résistance électrique à partir de ses dimensions physiques.

Fin de la définition

Son unité est définie par :
$[R] = [\rho] {[l] \over [s]}$
donc$[\rho] = {{[R][s]} \over [l]}$
$[\rho]= {{\Omega \times m^2} \over m} \equiv \Omega m$

Début d'une définition

Définition

L'unité de la résistivité électrique est l'Ohm.mètre carré par mètre (Ωm²/m) ou plus simplement l'Ohm.mètre (Ωm)

Fin de la définition

Pour connaître la valeur de résistivité de certains matériaux, consulter l'article sur Wikipédia.

Influence de la température

pour determiner l'influence de la temperature sur la résistivité d'un matériaux il faut faire le calcul suivant: R θ= R zero (1 + a θ) exemple= R 80 = R zero ( 1 + 80 a)

a= est la conductivitée du matériaux en question; θ= veut dire « X °C » ( qui dans l'exemple est remplacé par 80 °C); R θ= est la résistance a X °C; R zero= est la resistance initiale;

Exercices

Voir les exercices sur : Loi d'Ohm.

Mesure de la résistance électrique

Par ohmmètre

Pour mesurer la valeur d'une résistance avec un ohmmètre, il faut que cette résistance soit déconnectée de son montage (sinon on mesure la résistance du montage).

On connecte la résistance à mesurer aux 2 bornes de l'appareil de mesure (le Ohmmètre) et on lit directement la valeur indiquée par l'appareil de mesure.

Par méthode voltampèremétrique

Utilisant la loi d'ohm ( $R = \frac U I$), on fait circuler un courant dans l'élément sur laquelle on veut mesurer la résistance et on mesure la tension. Il faut donc 2 appareils de mesures (un voltmètre et un ampèremètre).

L'avantage de ce montage est que l'on peut mesurer une résistance « à chaud », c'est-à-dire dans les conditions de températures proches de celle de son utilisation normale.

Il faut faire attention à ce que les résistances internes des appareils de mesures ne viennent perturber les mesures. pour cela il existe deux types de montage :

• Le montage aval
• Le montage amont

Montage aval

L'ampèremètre se place avant le voltmètre donc il prend en compte la résistance à interne du voltmètre, en plus de celle du système mesuré.

Montage amont

il faut substituer Rx au potentiometre pour pouvoir calculer dU.

Par pont de Wheatstone

Pont de Wheatstone

Le pont de Wheatstone est un système de mesure de résistance par comparaison.

Si l'on prend l'exemple ci-contre :

• Soit $R_1$ et $R_3$ des résistances parfaitement connues
• Soit $R_x$ la résistance que l'on cherche à mesurer

Il suffit de modifier $R_2$ afin que le voltmètre affiche simplement 0

Alors on a l'égalité suivante :

$R_x = \frac{ R_1 \times R_3}{R_2}$

Début d'une démonstration

Démonstration

Si aucun courant ne circule dans le voltmètre, ce qui ne peut être vrai que si ce dernier affiche 0, et que la tension d'alimentation du montage vaut U:

La tension du point C vaut : $U_C = U \times \frac{R_2}{R_1 + R_2}$

La tension du point B vaut : $U_B = U \times \frac{R_3}{R_x + R_3}$

Si le voltmètre indique 0, alors $U_B = U_C$ donc $U \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} = U \times \frac{R_3}{R_x + R_3}$

d'où $\frac{R_2}{R_1 + R_2} = \frac{R_3}{R_x + R_3}$

donc $R_2 \times R_x + R_2 \times R_3 = R_1 \times R_3 + R_2 \times R_3$

soit $R_2 \times R_x = R_1 \times R_3$

et enfin $R_x = \frac {R_1 \times R_3}{R_2}$

Fin de la démonstration

Le gros avantage du pont de Wheatstone est que le résultat est indépendant de la valeur de la tension de l'alimentation, et indépendante de la résistance interne du voltmètre.

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