Polynôme/Racines d’un polynôme

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Définition : Racine d'un polynôme

Soient $P\in K[X]$ et $\alpha \in K$. On dit que $\alpha$ est une racine de $P$ si $P(\alpha )=0$.

Déterminer les racines de $P$ revient donc à résoudre l'équation $P(x)=0$ dans le corps $K$. Par exemple, les racines de $X^{2}+1$ sont $\pm \mathrm {i}$ dans $\mathbb {C}$, alors qu’elles n'existent pas dans $\mathbb {R}$. Enfin, dans $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$, ce polynôme n'a qu'une racine qui est 1.

Un des principaux intérêts de déterminer les racines d'un polynôme est de permettre sa factorisation, grâce à la propriété suivante :

Début d’un théorème

Théorème

Soit $P\in K[X]$.

• $\alpha \in K$ est une racine de $P$ si, et seulement si, $(X-\alpha )$ divise $P$.
• $\alpha _{1}\neq \alpha _{2}\neq \cdots \neq \alpha _{r}\in K$ sont des racines de $P$ si, et seulement si, $\prod _{i=1}^{r}(X-\alpha _{i})=(X-\alpha _{1})(X-\alpha _{2})\ldots (X-\alpha _{r})$ divise $P$.

Fin du théorème

Démonstration

• On effectue la division euclidienne de $P$ par $(X-\alpha )$ :
  $P=Q(X-\alpha )+R{\text{ avec}}\deg R<\deg(X-\alpha )\Rightarrow R{\text{ est constant}}$.
  On évalue en $\alpha$ (c'est-à-dire "on remplace $X$ par $\alpha$") :
  $0=P(\alpha )=Q(\alpha )(\alpha -\alpha )+R(\alpha )=R(\alpha )$
  mais comme $R$ est constant, on a donc $R=0\Rightarrow (X-\alpha )|P$.
• On montre facilement que les $(X-\alpha _{i})$ sont deux à deux premiers entre eux, puisque les $\alpha _{i}$ sont distincts (par exemple avec une relation de Bézout : ${\frac {1}{\alpha _{j}-\alpha _{i}}}\left((X-\alpha _{i})-(X-\alpha _{j})\right)=1\;\forall i\neq j\in [1;r]$). Le premier point permet alors de conclure.

 

On en déduit ce corollaire souvent utile :

Corollaire

• Tout polynôme non nul de degré $n$ admet au plus $n$ racines.

Cela équivaut à :

• Si un polynôme de degré au plus $n$ a au moins $n+1$ racines, alors ce polynôme est nul.

Nous admettrons le théorème suivant (souvent appelé « théorème fondamental de l'algèbre » mais qu'on ne peut démontrer qu'en passant par l'analyse). Sa formulation nécessite une définition préalable.

Définition

Un polynôme est dit scindé sur $K$ s'il est de la forme $\lambda (X-\alpha _{1})(X-\alpha _{2})\dots (X-\alpha _{n})$ avec $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}\in K$ (non nécessairement distincts) et $\lambda \in K$.

Début d’un théorème

Théorème de D'Alembert-Gauss

Tout polynôme à coefficients complexes est scindé sur $\mathbb {C}$.

Fin du théorème

Ce théorème n’est pas vrai si on remplace $\mathbb {C}$ par d'autres corps (voyez l'exemple ci-dessus). On dit que $\mathbb {C}$ est un corps algébriquement clos.

Définition : multiplicité d'une racine

Soit $P$ un polynôme non nul à coefficients dans $K$ et soit $\alpha \in K$ une racine de $P$.

• On dit que $\alpha$ est une racine de multiplicité $n\in \mathbb {N}$ si $(X-\alpha )^{n}$ divise $P$ mais $(X-\alpha )^{n+1}$ ne divise pas $P$, ou encore : si $(X-\alpha )^{n}$ divise $P$ mais $\alpha$ n'est pas racine du polynôme quotient $P/(X-\alpha )^{n}$.
• Si $\alpha$ est une racine de multiplicité au moins égale à 2, on parle de racine multiple.

L'ordre de multiplicité se caractérise par la propriété suivante :

Début d’un théorème

Critère de racines multiples

On suppose ici que le corps $K$ est de caractéristique nulle, c'est-à-dire qu'il contient $\mathbb {Q}$. Alors, $a$ est une racine de $P$ de multiplicité $k$ si et seulement si :

$P(a)=P'(a)=\ldots =P^{(k-1)}(a)=0$ et $P^{(k)}(a)\neq 0$.

Fin du théorème

Démonstration

• $(1)\Rightarrow (2)$ :

Si $P=(X-a)^{k}Q$ et $Q(a)\neq 0$, alors par récurrence, on peut montrer qu’il existe des polynômes $Q_{i}$ pour $i$ entre $0$ et $k$ tels que :

$\forall i\in [0;k]P^{(i)}=(X-a)^{k-i}Q_{i}$ et $Q_{i}(a)\neq 0$

En effet, c’est évident pour $i=0$ , et si c’est vrai pour $i<k$ , alors :

$P^{(i+1)}=(k-i)(X-a)^{k-i-1}Q_{i}+(X-a)^{k-i}Q'_{i}$.

On trouve alors la formule de récurrence : $Q_{i+1}=(k-i)Q_{i}+(X-a)Q'_{i}$

Ainsi, on trouve bien $P(a)=P'(a)=\ldots =P^{(k-1)}(a)=0$ et $P^{(k)}(a)\neq 0$.

• $(2)\Rightarrow (1)$ :

Il suffit d’utiliser la formule de Taylor pour les polynômes :

$P=\sum _{i=0}^{n}{\frac {P^{(i)}(a)}{i!}}(X-a)^{i}=\sum _{i=k}^{n}{\frac {P^{(i)}(a)}{i!}}(X-a)^{i}=\sum _{i=0}^{n-k}{\frac {P^{(i+k)}(a)}{(i+k)!}}(X-a)^{i+k}$.

La factorisation par $(X-a)^{k}$ est alors évidente.

 

Remarque

Dans $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$, $0$ est racine double de $X^{2}$ mais $(X^{2})'=0$.

Corollaire

Un polynôme $P\in \mathbb {C} [X]$ de degré $n$ admet $n$ racines complexes distinctes si et seulement si $\operatorname {pgcd} (P,P')=1$.

Remarque

Pour une recherche effective des racines d'un polynôme, on pourra consulter les leçons suivantes

• Équations et fonctions du second degré
• Équation du troisième degré
• Équation du quatrième degré