Polynôme/Dérivation formelle

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Dérivation formelle
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Chapitre 3
Leçon : Polynôme
Chap. préc. : Arithmétique des polynômes
Chap. suiv. : Racines d'un polynôme


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Polynôme/Dérivation formelle », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.


Définition : Dérivées d'un polynôme

Soit P = \sum_{k=0}^n a_k X^k \in \mathbb K[X]\, .

  • La dérivée (formelle) de P\, est le polynôme :
P' = \sum_{k=1}^n ka_k X^{k-1} \,
.
  • La dérivée p-ème de P\, (p\in \mathbb N\,) est définie par récurrence :
P^{(p+1)} = (P^{(p)})' \mathrm{\;et\;} P^{(0)} = P \,
.

C'est une notion "formelle" et purement algébrique : bien que définie par analogie avec l'Analyse, elle se définit ici sans référer à la notion de limite...
On remarquera que, si \mathbb K\, est un corps fini, cette notion peut donner lieu à des "bizarreries" (surtout en référence à l'Analyse) : par exemple, si \mathbb K = \mathbb Z / 3\mathbb Z\, et P = X^3 - 1\, , alors P' = 3X^2 = 0\, mais P\, n'est pas constant !

On dispose d'une Formule de Taylor-Young (comme en Analyse mais sans le "petit o") :


Formule de Taylor-Young (polynômes)

Soient \alpha\in \mathbb K\, et P\in \mathbb K[X]\, .
Alors :

P = \sum_{k=0}^n \frac{P^{(k)}(\alpha)}{k!} (X-\alpha)^k \,
.

En fait, dans les corps finis, il faut encore faire preuve de "méfiance", les coefficients \frac{P^{(k)}(\alpha)}{k!}\, n'étant pas toujours définis.

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