Opérations sur les fonctions/Produit et quotient

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Leçon : Opérations sur les fonctions

Chapitre 3
Chap. préc. :	Somme et différence
Chap. suiv. :	Composition

Sommaire

1 Produits de fonctions
- 1.1 Exemple
- 1.2 Sens de variation de ku
2 Quotients de fonctions

[modifier] Produits de fonctions

Définition

Soit $u$ et $v$ deux fonctions définies respectivement sur les ensembles $\mathcal{D}u$ et $\mathcal{D}v$ .

La fonction $\ uv$ est la fonction définie par $\ (uv)(x)=u(x) \times v(x)$ sur l'ensemble $\mathcal{D}u \cap \mathcal{D}v$ , c'est-à-dire l'ensemble des valeurs communes à $\mathcal{D}u~$ et à $\mathcal{D}v~$ .

[modifier] Exemple

$f (x) = 5 x - 2$

$( - 3 f)(x) = - 3 f (x)$

$= - 3(5 x - 2)$

= - 15 x + 6

[modifier] Sens de variation de ku

Soient les fonctions suivantes :

$f 1 (x) = x 2$
$f 2 (x) = 2 x 2$
$f 3 (x) = 3 x 2$
$f_4(x) = \frac{1}{2}x^{2}$

Théorème

si $k > 0$ , u et ku ont le même sens de variation.
si $k < 0$ , u et ku ont des sens de variations contraires.

Exemple

$f(x) = 5x + 1 - \frac{3}{x}$

Déterminer le sens de variation de $f$ .

$f = u - 3 v$

avec

$u (x) = 5 x + 1$

$v (x) = \frac{1}{x}$

u, fonction affine avec a = 5 est croissante sur $]0; +\infty[$

v, fonction inverse est décroissante sur $]0; +\infty[$ donc -3v est croissante sur $]0; +\infty[$

or

f = u + ( - 3 v)

donc f est la somme de deux fonctions croissante sur $]0; +\infty[$ , donc f est croissante sur $]0; +\infty[$

[modifier] Quotients de fonctions

Définition

Soit $u$ et $v$ deux fonctions définies respectivement sur les ensembles $\mathcal{D}u$ et $\mathcal{D}v$ .

La fonction $\ {u \over v}$ est la fonction définie par $\ \left ( {u \over v} \right )(x)={u(x) \over v(x)}$ sur l'ensemble $\mathcal{D}u \cap \mathcal{D}v$ privé de tout $\ x$ tel que $\ v(x)=0$ , c'est-à-dire l'ensemble des valeurs communes à $\mathcal{D}u$ et à $\mathcal{D}v$ avec $\ v(x)\ne0$ .