Matrice/Addition et soustraction

Une page de Wikiversité.


Addition et soustraction
Nuvola apps edu mathematics-p.svg
Chapitre 2
Leçon : Matrice
Chap. préc. : Définition
Chap. suiv. : Produit matriciel (12)


Icon falscher Titel.svg

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Matrice : Addition et soustraction
Matrice/Addition et soustraction », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Tout comme on peut additionner des nombres ou des vecteurs, il est possible d'effectuer l'addition de deux matrices. Il s'agit d'une opération élémentaire et assez intuitive.

Sommaire

[modifier] Additionner et soustraire

[modifier] Somme de deux matrices

Somme de deux matrices

Soit A et B deux matrices de même taille sur le même anneau. Alors il est possible de les additionner. Leur somme est une matrice A+B de même taille que A et B :

\mathbf A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,m} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n, 2} & \cdots & a_{n,m} \end{pmatrix}
\mathbf B = \begin{pmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} & \cdots & b_{1,m} \\ b_{2,1} & b_{2,2} & \cdots & b_{2,m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n,1} & b_{n, 2} & \cdots & b_{n,m} \end{pmatrix}
\mathbf A + \mathbf B = \begin{pmatrix} a_{1,1}+b_{1,1} & a_{1,2}+b_{1,2} & \cdots & a_{1,m}+b_{1,m} \\ a_{2,1}+b_{2,1} & a_{2,2}+b_{2,2} & \cdots & a_{2,m}+b_{2,m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1}+b_{n,1} & a_{n, 2}+b_{n, 2} & \cdots & a_{n,m}+b_{n,m} \end{pmatrix}
Nuvola apps important.svg Mieux vaut le rappeler trop que trop peu : l'addition n'est possible que pour des matrices de même taille.



Remarque

De manière évidente, si A, B et C sont trois matrices de même taille, alors :

\mathbf A + \left( \mathbf B + \mathbf C \right) = \left( \mathbf A + \mathbf B \right) + \mathbf C

On parle d’associativité pour l'addition.

[modifier] Différence de deux matrices

Différence de deux matrices

De manière similaire, on peut soustraire deux matrices A et B lorsqu'elle sont de même taille :

\mathbf A - \mathbf B = \begin{pmatrix} a_{1,1}-b_{1,1} & a_{1,2}-b_{1,2} & \cdots & a_{1,m}-b_{1,m} \\ a_{2,1}-b_{2,1} & a_{2,2}-b_{2,2} & \cdots & a_{2,m}-b_{2,m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1}-b_{n,1} & a_{n, 2}-b_{n, 2} & \cdots & a_{n,m}-b_{n,m} \end{pmatrix}

[modifier] La matrice nulle

Matrice nulle

Il existe une matrice telle que l'on peut l'ajouter ou la soustraire à toute autre matrice A sans changer cette dernière. Elle est appelée matrice nulle et notée 0 ou \mathbf 0_{\mathfrak M_{n,m} \left(A \right)}. De manière évidente :

\mathbf 0_{\mathfrak M_{n,m} \left(A \right)} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}

avec « 0 » l'élément neutre pour l'addition dans l'anneau A — si A = \R ou A = \mathbb C c'est simplement le zéro habituel.



Structure de \mathfrak M_{n,m} \left(A \right)

L'ensemble \mathfrak M_{n,m} \left(A \right), muni de l'addition (loi de composition interne associative), de la soustraction et de la matrice nulle (élément neutre) possède une structure de groupe.

[modifier] Exemples

Exemples

Un exemple d'addition de deux matrices :

\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 7 & 5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0 & 3+0 \\ 1+7 & 0+5 \\ 1+2 & 2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 8 & 5 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}

Un exemple de soustraction de deux matrices :

\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 7 & 5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-0 & 3-0 \\ 1-7 & 0-5 \\ 1-2 & 2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -6 & -5 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

[modifier] Remarques

On retrouve l'addition des vecteurs.
  • Il existe une autre « somme » envisageable pour les matrices, appelée « somme directe ». Elle a un sens dans la théorie des espaces vectoriels, et nous ne l'aborderons pas ici.
  • Si les matrices considérées n'ont qu'une seule ligne et une seule colonne (ce sont des nombres), on retrouve ce que l'on sait des nombres concernant leur addition, leur soustraction et le zéro.
  • Si les matrices considérées n'ont qu'une colonne (ce sont des vecteurs), on retrouve ce que l'on sait des vecteurs concernant l'addition, la soustraction et le vecteur nul.

Les matrices peuvent donc être vues comme une « généralisation » des vecteurs.

Crystal Clear action back.png Définition
Récupérée de « http://fr.wikiversity.org/wiki/Matrice/Addition_et_soustraction »