Matrice/Définition

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**Définition**
Leçon : Matrice

Chapitre 2
Chap. préc. :	Introduction générale
Chap. suiv. :	Addition et soustraction (12)

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Matrice/Définition », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Ce chapitre introduit la notion de matrice, et d'ensemble de matrice. Nous précisons les notations usuelles et définissons les termes.

[modifier] Notations générales

Notations générales

Soit $\left( a_1, a_2, a_3, \ldots\, a_n \right)$ une famille d'objets. On utilisera la notation $a_{i \in \left[\![1, n ]\!\right]}\,$ pour désigner cette famille, n étant un entier positif non-nul.

De manière similaire, si $\left( a_{(1,1)}, \ldots\, a_{(n,1)}, a_{(1,2)}, \ldots, a_{(n,2)}, \ldots, a_{(n,m)} \right)$ est une famille d'objets, on utilisera la notation :

$a_{(i,j) \in \left[\![1, n ]\!\right] \times \left[\![1, m ]\!\right]}\,$

pour la désigner, m et n étant deux nombres entiers positifs et non-nuls.

On notera par :

$\R$ et $\mathbb C$

respectivement le corps des nombres réels celui des nombres complexes. La notation $\scriptstyle \mathbb K$ désignera indépendamment l'un ou l'autre des deux corps précédents.

On notera en caractères gras les matrices et les vecteurs : $\mathbf M$

Les lettres désignant des nombres seront en minuscules italiques : $m\,$

Le produit sera noté par un point ( $\cdot \,$ ) pour ne pas le confondre avec le produit cartésien ( $\times\,$ ).

[modifier] Définition

Définitions

Une matrice est la donnée une famille $a_{i,j \in \left[[1, n ]\right] \times \left[[1, m ]\right]}\,$ , dont les éléments appartiennent à un anneau commutatif (c'est-à-dire, pour résumer, qu'on sait les additionner et les multiplier entre eux).

Les nombres m et n sont appelés dimensions de la matrice. On dit qu'une matrice est de taille m × n (lire « m fois n »). Les éléments $a_{i,j}\,$ sont appelés coefficients de la matrice.

Tout de suite, introduisons la notation usuelle des matrices :

Notation des matrices et définitions

Une matrice $\mathbf A = a_{i,j \in \left[[1, n ]\right] \times \left[[1, m ]\right]}\,$ est notée de la manière suivante :

$\mathbf A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \cdots & a_{1,m} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \cdots & a_{2,m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n, 2} & a_{n, 3} & \cdots & a_{n,m} \end{pmatrix}$

Les i « grandissent » de haut en bas, les j grandissent de gauche à droite. On appelle hauteur de la matrice le nombre n, et largeur de la matrice le nombre m.

Il est très important d'avoir bien compris cet ordre, qui n'est pas totalement arbitraire. Inverser i et j a des conséquences sur la matrice.

Quelques cas particuliers qui nous intéressent :

une matrice de hauteur n = 1 est appelée vecteur, ou plus spécifiquement vecteur ligne ;
une matrice de largeur m = 1 est appelée vecteur colonne ;
une matrice telle que n = m est appelée matrice carrée ;

L’ensemble des matrices de dimensions données forme une algèbre associative et est noté $\mathfrak M_{n,m}\left(A \right)$ , ou A est l'ensemble d'où sont issus les coefficients. Puisque nous serons amenés à traiter le cas important des matrices carrées sur le corps des réels ou des complexes, on note l'ensemble de ces matrices :

$\mathfrak M_n\left( \mathbb K \right)$

On note qu'une matrice B appartient à un tel ensemble de la manière suivante :

$\mathbf B \in \mathfrak M_n \left( \mathbb K \right)$

[modifier] Remarques

Lorsqu'on est amené à « lire » une matrice, on énonce ses coefficients de haut en bas, de gauche à droite, c'est-à-dire en respectant l'ordre de la famille : i, puis j.

Il existe une notation alternative des matrices, privilégiée dans la littérature anglo-saxonne mais que nous n'emploierons pas dans le cadre de cette leçon :

$\mathbf A = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \cdots & a_{1,m} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \cdots & a_{2,m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n, 2} & a_{n, 3} & \cdots & a_{n,m} \end{bmatrix}$

Cette notation est parfois utile quand on doit exprimer des grandes expressions où il devient maladroit d'écrire les parenthèses.

[modifier] Exemples

Exemples de matrices

Les objets suivants sont des matrices :

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} \cos & x & 1\\ \sin & x^2 & 2 \\ \tan & x^3 & 3\end{pmatrix}$

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Introduction générale

Addition et soustraction

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Sommaire

[modifier] Notations générales

[modifier] Définition

[modifier] Remarques

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