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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Matrice : Addition et soustraction Matrice/Addition et soustraction », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Tout comme on peut additionner des nombres ou des vecteurs, il est possible d'effectuer l'addition de deux matrices. Il s'agit d'une opération élémentaire et assez intuitive.
Définition
Soient
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
de même taille à coefficients dans K . Alors il est possible de les additionner. Leur somme est une matrice
A
+
B
{\displaystyle A+B}
K , de même taille que
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
(
a
i
,
j
)
(
i
,
j
)
∈
[
[
1
,
m
]
]
×
[
[
1
,
n
]
]
+
(
b
i
,
j
)
(
i
,
j
)
∈
[
[
1
,
m
]
]
×
[
[
1
,
n
]
]
:=
(
a
i
,
j
+
b
i
,
j
)
(
i
,
j
)
∈
[
[
1
,
m
]
]
×
[
[
1
,
n
]
]
{\displaystyle \left(a_{i,j}\right)_{(i,j)\in \left[\![1,m]\!\right]\times \left[\![1,n]\!\right]}+\left(b_{i,j}\right)_{(i,j)\in \left[\![1,m]\!\right]\times \left[\![1,n]\!\right]}:=\left(a_{i,j}+b_{i,j}\right)_{(i,j)\in \left[\![1,m]\!\right]\times \left[\![1,n]\!\right]}}
Plus explicitement : si
A
=
(
a
1
,
1
a
1
,
2
⋯
a
1
,
n
a
2
,
1
a
2
,
2
⋯
a
2
,
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
,
1
a
m
,
2
⋯
a
m
,
n
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\cdots &a_{m,n}\end{pmatrix}}}
et
B
=
(
b
1
,
1
b
1
,
2
⋯
b
1
,
n
b
2
,
1
b
2
,
2
⋯
b
2
,
n
⋮
⋮
⋱
⋮
b
m
,
1
b
m
,
2
⋯
b
m
,
n
)
{\displaystyle B={\begin{pmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&\cdots &b_{1,n}\\b_{2,1}&b_{2,2}&\cdots &b_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m,1}&b_{m,2}&\cdots &b_{m,n}\end{pmatrix}}}
alors
A
+
B
=
(
a
1
,
1
+
b
1
,
1
a
1
,
2
+
b
1
,
2
⋯
a
1
,
n
+
b
1
,
n
a
2
,
1
+
b
2
,
1
a
2
,
2
+
b
2
,
2
⋯
a
2
,
n
+
b
2
,
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
,
1
+
b
m
,
1
a
m
,
2
+
b
m
,
2
⋯
a
m
,
n
+
b
m
,
n
)
{\displaystyle A+B={\begin{pmatrix}a_{1,1}+b_{1,1}&a_{1,2}+b_{1,2}&\cdots &a_{1,n}+b_{1,n}\\a_{2,1}+b_{2,1}&a_{2,2}+b_{2,2}&\cdots &a_{2,n}+b_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}+b_{m,1}&a_{m,2}+b_{m,2}&\cdots &a_{m,n}+b_{m,n}\end{pmatrix}}}
Début de l'exemple
Exemple
(
1
3
1
0
1
2
)
+
(
0
0
7
5
2
1
)
=
(
1
+
0
3
+
0
1
+
7
0
+
5
1
+
2
2
+
1
)
=
(
1
3
8
5
3
3
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{pmatrix}}}
Fin de l'exemple
Définition
La matrice opposée de
A
=
(
a
i
,
j
)
(
i
,
j
)
∈
[
[
1
,
m
]
]
×
[
[
1
,
n
]
]
{\displaystyle A=\left(a_{i,j}\right)_{(i,j)\in \left[\![1,m]\!\right]\times \left[\![1,n]\!\right]}}
−
A
:=
(
−
a
i
,
j
)
(
i
,
j
)
∈
[
[
1
,
m
]
]
×
[
[
1
,
n
]
]
{\displaystyle -A:=\left(-a_{i,j}\right)_{(i,j)\in \left[\![1,m]\!\right]\times \left[\![1,n]\!\right]}}
Les propriétés des trois notions ci-dessus sont résumées dans la proposition suivante :
Propriété
(
M
m
,
n
(
K
)
,
+
)
{\displaystyle \left(\mathrm {M} _{m,n}\left(K\right),+\right)}
groupe abélien .
L'élément neutre est la matrice nulle, et l'élément symétrique d'une matrice
A
{\displaystyle A}
−
A
{\displaystyle -A}
Cela signifie que :
l'addition entre matrices de même taille est associative :
∀
A
,
B
,
C
∈
M
m
,
n
(
K
)
(
A
+
B
)
+
C
=
A
+
(
B
+
C
)
{\displaystyle \forall A,B,C\in \mathrm {M} _{m,n}\left(K\right)\quad (A+B)+C=A+(B+C)}
elle est commutative
∀
A
,
B
∈
M
m
,
n
(
K
)
A
+
B
=
B
+
A
{\displaystyle \forall A,B\in \mathrm {M} _{m,n}\left(K\right)\quad A+B=B+A}
∀
A
∈
M
m
,
n
(
K
)
A
+
0
M
m
,
n
(
K
)
=
A
{\displaystyle \forall A\in \mathrm {M} _{m,n}\left(K\right)\quad A+\mathbf {0} _{\mathrm {M} _{m,n}\left(K\right)}=A}
A
+
(
−
A
)
=
0
M
m
,
n
(
K
)
{\displaystyle A+(-A)=0_{\mathrm {M} _{m,n}\left(K\right)}}
Ces propriétés découlent directement du fait que
(
K
,
+
)
{\displaystyle \left(K,+\right)}
Début de l'exemple
Exemple
(
1
3
1
0
1
2
)
−
(
0
0
7
5
2
1
)
=
(
1
−
0
3
−
0
1
−
7
0
−
5
1
−
2
2
−
1
)
=
(
1
3
−
6
−
5
−
1
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1-0&3-0\\1-7&0-5\\1-2&2-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3\\-6&-5\\-1&1\end{pmatrix}}}
Fin de l'exemple
Il existe une autre « somme » envisageable pour les matrices, appelée « somme directe ». Elle a un sens dans la théorie des espaces vectoriels, et nous ne l'aborderons pas ici.
Si les matrices considérées n'ont qu'une seule ligne et une seule colonne (ce sont des nombres), on retrouve ce que l’on sait des nombres concernant leur addition, leur soustraction et le zéro.
Si les matrices considérées n'ont qu'une colonne (ce sont des vecteurs), on retrouve ce que l’on sait des vecteurs concernant l'addition, la soustraction et le vecteur nul. Les matrices peuvent donc être vues comme une « généralisation » des vecteurs.
![{\displaystyle \left(a_{i,j}\right)_{(i,j)\in \left[\![1,m]\!\right]\times \left[\![1,n]\!\right]}+\left(b_{i,j}\right)_{(i,j)\in \left[\![1,m]\!\right]\times \left[\![1,n]\!\right]}:=\left(a_{i,j}+b_{i,j}\right)_{(i,j)\in \left[\![1,m]\!\right]\times \left[\![1,n]\!\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/582a29c8f35f93fd58ffa51f4c7ae3bed86a0baf)
![{\displaystyle A=\left(a_{i,j}\right)_{(i,j)\in \left[\![1,m]\!\right]\times \left[\![1,n]\!\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48f482e29d1d15f396da717ea1a38e56c3b01c8c)
![{\displaystyle -A:=\left(-a_{i,j}\right)_{(i,j)\in \left[\![1,m]\!\right]\times \left[\![1,n]\!\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec193984bb37b8806a6eb53dceab718824198b9c)
