Mathématiques financières/Somme d'une suite géométrique

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Somme d'une suite géométrique
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Chapitre 2
Leçon : Mathématiques financières
Chap. préc. : Règles de base
Chap. suiv. : Somme d'une suite géométrique et arithmétique


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Mathématiques financières/Somme d'une suite géométrique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

[modifier] Somme d'une suite de nombre en progression géométrique

La base des mathématiques financières repose essentiellement sur les lois concernants les suites arithmétiques et géométriques. Ce sera à partir de ces notions de base que la plupart des calculs en découleront.

Pour plus de détails concernant ce type de suite, on pourra se référer au cours de mathématiques traitant de ce sujet.

[modifier] Paramètres

  • S\, = Somme
  • a\, = premier nombre
  • q\, = raison géométrique (différente de 1)
  • n\, = nombre total de versement

[modifier] Calcul de la somme

S = a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4... + aq^{n-2} + aq^{n-1}\,
Sq = aq + aq^2 + aq^3 + aq^4... + aq^{n-2} + aq^{n-1} + aq^n\,
Sq - S = aq^n - a\,
S ( q - 1 ) = a\,(q^n - 1 )
S = a\, \frac{q^n - 1}{q - 1}


Le résultat est donc :

S = a\, \frac{q^n - 1}{q - 1}

[modifier] Conclusions

C'est à partir de cette formule de base que se fera la plupart des calculs en mathématiques financières.

[modifier] Calcul de la valeur acquise d'une suite de versements avec un taux annuel fixe

  • Va = Valeur Acquise
  • i = intérêt lequel doit être supérieur à zéro.
  • n = nombre de versement

[modifier] Démonstration pour une valeur acquise pour un versement d'un euro sur n périodes

  • S = Somme
  • a = première nombre
  • 1+i = raison géométrique
  • n = nombre total de versement

Une somme capitalisée à un intérêt se calcule comme suit :

  • Versement + intérêt du versement = somme capitalisée
  • V=versement ; i = intérêt ; K = somme capitalisée.
    • V +Vi = K \,
    • V(1+i) = K \,

Il résulte de cette démonstration que la raison géométrique est (1+i)\,.

[modifier] application de la formule en question pour 1 €

Va = \frac{(1+i)^n - 1}{1+i - 1}
Va = \frac{(1+i)^n - 1}{i}


Le résultat est donc

Va = \frac{(1+i)^n - 1}{i}

Si nous désignons les versements périodique par la lettre a, nous aurons pour formule

Va = a\frac{(1+i)^n - 1}{i}
\frac{1}{a} = \frac{(1+i)^n - 1}{Va \cdot i}
a = \frac{Va \cdot i}{(1+i)^n - 1}
a = Va\; \frac{i}{(1+i)^n - 1}


Le résultat est donc

a = Va\; \frac{i}{(1+i)^n - 1}

[modifier] Valeur actuelle d'une suite de versements

Ceci concerne notamment les emprunts avec des remboursements fixes à taux fixes. On illustrera par le schémas suivant :

Valeur actuelle.svg

Cette valeur actuelle se calculera de la façon suivante :

V = a \,(1+i)^{-1} + a\, (1+i)^{-2} + a \,(1+i)^{-3} + ... + a\, (1+i)^{2-n} + a\, (1+i)^{1-n} + a\, (1+i)^{-n}
V = a\, \bigg[ (1+i)^{-1} + (1+i)^{-2} + (1+i)^{-3} + ... + (1+i)^{2-n} + (1+i)^{1-n} + (1+i)^{-n} \bigg]
V\,(1+i) = a\, \bigg[ 1 + (1+i)^{-1} + (1+i)^{-2} + (1+i)^{-3} + ... + (1+i)^{2-n} + (1+i)^{1-n} \bigg]
V \,(1+i) - V = a\, ( 1-(1+i)^{-n})
V\,(1+i-1) = a\, ( 1-(1+i)^{-n})
V\,i = a\, ( 1-(1+i)^{-n})
V = a\;\left( \frac { 1-(1+i)^{-n}}{i}\right)


Le résultat est donc

V = a\;\left( \frac { 1-(1+i)^{-n}}{i}\right)

[modifier] Calcul des annuités compte tenu de la valeur actuelle

Il suffit de reprendre la formule en question ce qui donne.


annuités compte tenu de la valeur actuelle

a = V\, \left( \frac {i}{ 1-(1+i)^{-n}}\right)


Crystal Clear action back.png Règles de base
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