Initiation au calcul intégral/Exercices/Primitives et fonctions puissances

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**Primitives et fonctions puissances**
Leçon : Initiation au calcul intégral

Exercice 1
Chapitre du cours :	Initiation au calcul intégral
Cet exercice est de niveau 12.

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Primitives et fonctions puissances
Initiation au calcul intégral/Exercices/Primitives et fonctions puissances », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Fonctions de la forme u’ × uⁿ

[modifier] Exercice 1

On cherche une primitive sur $\R$ de la fonction $f(x)=(x+5)^2\,$

a. Rappeler la formule donnant la dérivée d'une fonction de la forme $u^n~:~\cdots$

b. A titre d'exemple, dériver la fonction $G(x)=(x+5)^3\,$

$G'(x)=\cdots$

c. Écrire f(x) en faisant apparaître la dérivée de G.

d. En déduire une primitive F de f sur $\R$ :

$F(x)=\cdots$

e. Vérification : $F'(x)=\cdots=f(x)$

Solution

a. $(u^n)'=n~u'~u^{n-1}$

b. Ici :

u(x)=x+5
u'(x)=x+5
n=3

$G'(x)=3(x+5)^2\,$

c. $f(x)=\frac{G'(x)}3$

d. Une primitive F de f sur $\R$ est alors $F(x)=\frac{G(x)}3=\frac{(x+5)^3}3$

e. $\begin{align} F'(x)&=\frac13~G'(x)\\ &=\frac13~3(x+5)^3\\ &=(x+5)^3\\ &=f(x) \end{align}$

Donc $F:x\mapsto \frac{(x+5)^3}3$ est bien une primitive de f.

[modifier] Exercice 2

De même avec $f(x)=(3x-2)^3\,$ en faisant apparaître la dérivée de $G(x)=(3x-2)^{\cdots}$

$G'(x)=\cdots$
$f(x)=\cdots$
$F(x) =\cdots$
Vérification : $F'(x)=\cdots$

Solution

Comme lorsqu'on dérive, l'exposant est diminué de 1, il faut poser la fonction $G(x)=~(3x-2)^4$
On pose $u:x \mapsto 3x-2$ . Sa dérivée est $u':x \mapsto 3$
On a alors $G(x)=u(x)^4\,$
On calcule la dérivée de G avec la formule $(u^n)'=n~u'u^{n-1}$ (avec n=4) : $G'(x)=4 \times 3 \times (3x-2)^3=12~(3x-2)^3$
On exprime f en fonction de G' : $f(x)=\frac{G'(x)}{12}$
On pose F une fonction dont on attend qu'elle soit une primitive de f : $F(x)=\frac{G(x)}{12}$
On vérifie que F est une primitive de f, c'est-à-dire on vérifie que F'=f :

$\begin{align} F'(x)&=\frac1{12}G'(x)\\ &=\frac1{12}~12~(3x-2)^3\\ &=(3x-2)^3\\ &=f(x) \end{align}$

Donc $F:x\mapsto \frac{(3x-2)^4}{12}$ est une primitive de f

[modifier] Exercice 3

De même avec $f(x)=x(x^2-4)^2\,$ en faisant apparaître la dérivée de $G(x)=\cdots$

$G'(x)=\cdots$
$f(x)=\cdots$
$F(x)=\cdots$
Vérification : ...

Solution

On cherche à utilier la formule . On essaye alors de poser :
- n=3 (car l'exposant va diminuer de 1 en dérivant et on veut un 2)
- $u(x)=x^2-4\,$
- $G(x)=u(x)^n=(x^2-4)^3\,$
On dérive u : $u'(x)=2x\,$
La dérivée de G est alors $G'(x)=3~(2x)~(x^2-4)^2=6~x(x^2-4)^2$
On relie f à G' en remarquant que $G'(x)=6~f(x)$
On pose F une fonction dont on attend qu'elle soit une primitive de f : $F(x)=\frac{G(x)}6$
On vérifie que F est une primitive de f, c'est-à-dire on vérifie que F'=f :

$\begin{align} F'(x)&=\frac16G'(x)\\ &=\frac16~6~x(x^2-4)^2\\ &=x(x^2-4)^2\\ &=f(x) \end{align}$

Donc $F:x\mapsto \frac{(x^2-4)^3}6$ est une primitive de f

[modifier] Fonctions de la forme $\frac{u'}{u^n}$

[modifier] Exercice 1

On cherche une primitive sur $]-5;+\infty[$ de la fonction $f(x)=\frac3{(x+5)^2}$

a. Rappeler la formule donnant la dérivée d'une fonction de la forme $\frac1{u^n} : \cdots$

b. A titre d'exemple, dériver la fonction $G(x)=\frac1{x+5}$

$G'(x)=\cdots$

c. Écrire f(x) en faisant apparaître la dérivée de G.

$f(x)=\cdots$

d. En déduire une primitive F de f sur $\R$ :

$F(x)=\cdots$

e. Vérification : $F'(x)=\cdots$

Solution

a. Cette question est un peu piégeuse :

si n = 0, il s'agit d'une constante, dont la dérivée est nulle ;
sinon, on utilise la dérivée d'un quotient :

$\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - v'u}{v^2}$

adapté au cas qui nous concerne, la dérivée recherchée est :

$- \frac{n u^{n-1} u'}{u^{2n}} = - n u' u^{n-1 - 2n} = -n u' u ^{- \left(n+1\right)}$

Remarque : on aurait pu la retrouver à partir de la formule donnant la dérivée de uⁿ.

b. On a simplement :

$G'\left(x \right) = \frac{- 1}{\left(x+5\right)^2}$

c. D'après les questions précédentes :

$f(x)= \frac3{(x+5)^2}= -3 G'(x)$

d. Il est immédiat qu'une primitive de ƒ est -3G. En effet :

$\left(-3G \right)' (x) = -3 G'(x) = f(x)$

e.

[modifier] Exercice 2

De même sur $\left]\frac32;+\infty\right[$ avec $f(x)=\frac5{(3x-2)^3}$ en faisant apparaître la dérivée de $G(x)=\frac1{(3x-2)^{\cdots}}$

$G'(x)=\cdots$
$f(x)=\cdots$
$F(x)=\cdots$

Solution

Dans cette configuration, la dérivation « augmente de 1 l'exposant du dénominateur ». On pose donc pour tout $x \in \left]\frac32;+\infty\right[,~G(x)=\frac1{(3x-2)^2}$ .
On dérive alors G :
- pour tout $x\in\left]\frac32;+\infty\right[,~u(x)=3x-2~\textrm{et}~G(x)=\frac1{u(x)}$
- pour tout $x\in\left]\frac32;+\infty\right[,~u'(x)=3$
- n=2
- pour tout $x \in \left]\frac32;+\infty\right[,~G'(x)=-\frac{n.u'(x)}{u(x)^{n+1}}=-\frac6{(3x-2)^3}$
On relie G' à f par pour tout $x \in \left]\frac32;+\infty\right[,~-\frac56G'(x)=f(x)$

Une primitive F de f est alors définie par pour tout $x \in \left]\frac32;+\infty\right[,~F(x)=-\frac56G(x)=-\frac5{6(3x-2)^2}$

Vérification : $F'(x)=\cdots$

[modifier] Exercice 3

De même sur $]1;+\infty[$ avec $f(x)=\frac{x^2}{(5x^3-4)^4}$ en faisant apparaître la dérivée de G(x)=...

$G'(x)=\ldots$
$f(x)=\ldots$
$F(x)=\ldots$
Vérification : ...

Solution

Là encore, la dérivation « augmente de 1 l'exposant du dénominateur ». On pose donc pour tout $x \in ]1;+\infty[,~G(x)=\frac1{(5x^3-4)^3}$ .
On dérive G :
- pour tout $x\in]1;+\infty[,~u(x)=5x^3-4~\textrm{et}~G(x)=\frac1{u(x)}$
- pour tout $x\in]1;+\infty[,~u'(x)=5\times3x^2=15x^2$
- n=3
- pour tout $x \in]1;+\infty[,~G'(x)=-\frac{n.u'(x)}{u(x)^{n+1}}=-\frac{45x^2}{(5x^3-4)^4}$
On relie G' à f par pour tout $x \in ]1;+\infty[,~-\frac1{45}G'(x)=f(x)$