Initiation au calcul intégral/Exercices/Primitive prenant une valeur donnée en un point

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Primitive prenant une valeur donnée en un point
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Exercice 2
Leçon : Initiation au calcul intégral
Chapitre du cours : Initiation au calcul intégral

Cet exercice est de niveau 12.
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Initiation au calcul intégral/Exercices/Primitive prenant une valeur donnée en un point  », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

[modifier] Rappel

On se place sur un intervalle I. Si la fonction F est une primitive de f, alors toutes les primitives de f sont de la forme F+k où k est un nombre réel quelconque.

[modifier] Conséquence

Propriété

Si f admet une primitive sur I.

Deux nombres réels a et b étant fixés,

il existe une unique primitive F de f telle que F(a)=b.

Autrement dit, fixer une valeur suffit à fixer la primitive.

[modifier] Problématique

On désire trouver la primitive F telle que F(a)=b en fixant correctement la constante k.

[modifier] Exemple 1

Soit f:x\mapsto x^2définie sur \R.

On demande de trouver la primitive F de f sur R telle que F(2)=3.

a. Une primitive G de f est : G(x) = ...

Solution

La fonction G définie par pour tout x\in\R,~G(x)=\frac{x^3}3 est une primitive de f sur \R.

b. G(2)=\ldots

Solution

G(2)=\frac{2^3}3=\frac83

c. Soit F(x)=G(x)+ k. Alors F(2)=\dots

Solution

F(2)=G(2)+k=\frac83+k

d. Or F(2)=3. On a donc l’équation : ...=...

Donc k =...

Solution

On a l'équation \frac83+k=3 d'inconnue k\in\R, dont la solution est k=\frac13

e. Finalement F(x)=...

Solution
Pour tout x\in\R,~F(x)=\frac{x^3+1}3

f. Vérification : F(2)=...

En pratique, on n’utilise pas la fonction intermédiaire G.

[modifier] Exemple 2

Soit f:x\mapsto x^3 définie sur \R.

On demande de trouver la primitive F de f sur \R telle que F(-2)=5.

a. F s’écrit F(x)=...+k

b. On a donc l’équation F(-2)=...+k=...

c. Donc k=... et F(x)=...

Solution
  • Une primitive de f sur \R est G:x\mapsto \frac{x^4}4
  • F vérifie pour tout x\in\R,~F(x)=\frac{x^4}4+k
  • F(-2)=5 donc k est solution de l'équation 5=\frac{(-2)^4}4+k=4+k donc k=1
Pour tout x\in\R,~F(x)=\frac{x^4}4+1

[modifier] Exercices

1. Soit f:x\mapsto(2x-3)^3 définie sur \R.

On demande de trouver la primitive F de f sur \R telle que F(1)=-4.

Solution
  • Une primitive de f sur \R est G:x\mapsto \frac18(2x-3)^4
  • G(1)=\frac18
F:x\mapsto G(x)-\frac{33}8=\frac{(2x-3)^4-33}8 est la primitive de f sur \R vérifiant F(1)=-4

2. Soit f:x\mapsto\frac x{(x^2-1)^2} définie sur ]1;+\infty[.

On demande de trouver la primitive F de f sur ]1;+\infty[ telle que F(2)=-4.

Solution
  • Une primitive de f sur \R est G:x\mapsto \frac{-1}{2(x^2-1)}
  • G(2)=-\frac16
F:x\mapsto G(x)-\frac{23}6=\frac{-1}{2(x^2-1)}-\frac{23}6 est la primitive de f sur \R vérifiant F(2)=-4


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