Généralités sur les fonctions/Introduction

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Introduction
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Chapitre 1
Leçon : Généralités sur les fonctions
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Sommaire

[modifier] Notion de fonction d'une variable réelle

[modifier] Fonction, image

Définition

Soit \mathcal D une partie de \R.

  • Définir une fonction ƒ sur \mathcal D, c'est associer à chaque nombre x de \mathcal D un réel unique noté f(x)\,.
  • On écrit f:x\mapsto f(x) et on lit « ƒ est la fonction qui, à x, associe ƒ(x) »
  • On dit que « f(x)\, est l'image de x par la fonction ƒ » ou que « x a pour image f(x)\, ».
  • \mathcal D s'appelle l'ensemble de définition de ƒ. On dit que ƒ est définie sur \mathcal D.



Exemple

Soit la fonction ƒ définie sur \mathcal D_f=[-2;2] par f:x\mapsto x^2+x+3.

L'image de − 1 par ƒ est :

\begin{align} f(-1)&=(-1)^2+(-1)+3\\ &=1-1+3\\ &=3 \end{align}.

[modifier] Antécédent

Définition

Soit ƒ une fonction définie sur un ensemble \mathcal D.

Si le réel x a pour image y par la fonction ƒ (c'est-à-dire f(x)=y\,), on dit que x est un antécédent de y par ƒ.

Remarque  :

  • Un nombre peut avoir plusieurs antécédents par une même fonction.
  • L'image d'un nombre par un fonction est unique.



Exemple

Soit la fonction ƒ définie sur \mathcal D_f=[-2;2] par f:x \mapsto x^2+x+3.

On a f(-1)=3\, et f(0)=3\,. Donc 3 possède au moins deux antécédents par ƒ : -1 et 0.

[modifier] Valeurs interdites - Ensemble des valeurs interdites

Définition

Une valeur interdite pour une expression est une valeur pour laquelle l'expression n'est pas définie, c'est-à-dire n'est pas « calculable ».

Lorsqu'une expression admet plusieurs valeurs interdites, on peut les regrouper dans un ensemble de valeurs interdites.

Voyons ce concept illustré sur quelques exemples :

  • L'expression \frac{1}{x-1} n'est pas « calculable » pour x - 1 = 0\, (division par zéro), donc elle ne l'est pas pour x = 1.
Ainsi 1 est une valeur interdite pour l'expression \frac{1}{x-1}.
  • L'expression \frac{1}{(x-1)(x+4)} n'est pas « calculable » pour (x − 1)(x + 4) = 0 , c'est-à-dire

pour x = 1 et x = − 4.

Ainsi 1 et -4 sont des valeurs interdites pour l'expression \frac{1}{(x-1)(x+4)}.
  • L'expression \sqrt {x+2} n'est pas « calculable » pour x + 2 < 0\, (on ne peut pas prendre la racine carrée d'un nombre strictement négatif). Cette expression n'a donc pas de sens pour x < -2\,.
Ainsi les valeurs interdites de \sqrt {x+2} sont toutes les valeurs de l'ensemble ] - \infty ; - 2 [, c'est-à-dire que l'ensemble des valeurs interdites de l'expression \sqrt {x+2} est ] - \infty ; - 2 [.
  • L'expression \frac1{\sqrt {x+2}} n'est pas « calculable » pour x + 2 \leq 0\, (on ne peut ni prendre la racine carrée d'un nombre strictement négatif, ni diviser par zéro). Cette expression n'a donc pas de sens pour x \leq -2\,.
Ainsi les valeurs interdites de \frac1{\sqrt {x+2}} sont toutes les valeurs de l'ensemble ] - \infty ; - 2], c'est-à-dire que l'ensemble des valeurs interdites de l'expression \frac1{\sqrt {x+2}} est ] - \infty ; - 2 ].


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