Généralités sur les fonctions/Ensemble de définition

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Sommaire 1 Ensemble de définition 1.1 Exemple 2 Valeurs interdites 2.1 Exemple 3 Restriction et extension d'un ensemble de définition 4 Exercice

[modifier] Ensemble de définition

Définition

L'ensemble de définition d'une fonction f, noté souvent Df, est l'ensemble des nombres réels x pour lesquels l'image f(x) est bien définie.

Remarques :

• L'ensemble de définition est partie intégrante de la fonction f :

si l'on change d'ensemble de définition, on change de fonction.

[modifier] Exemple

Soit la fonction f définie sur par f(x) = x² + 1.

Sa restriction à l'intervalle est :

la fonction g définie sur par g(x) = x² + 1.

Les fonctions f et g ne sont pas les mêmes, malgré le fait qu'elles soient définies par la même expression algébrique.

En effet, g possède des propriétés que f ne possède pas et réciproquement.

Ainsi, g admet un minimum de 2 atteint pour x = 1, alors que pour f, cette valeur n'est pas un minimum.

De même, g est monotone (elle ne change pas de sens de variation) alors que f ne l'est pas.

[modifier] Valeurs interdites

Définition

Soit f(x) une expression algébrique. Une valeur interdite de f(x) est une valeur de x pour laquelle l'expression algébrique n'a pas de sens. Soit une fonction f définie uniquement par l'expression algébrique f(x). Le plus grand ensemble de définition possible pour f est privé des valeurs interdites de f(x).

[modifier] Exemple

Une fonction f définie uniquement par a pour plus grand ensemble de définition .

[modifier] Restriction et extension d'un ensemble de définition

L'ensemble de définition est en général donné par l'énoncé.

Il est possible que :

• Il soit plus restreint que le plus grand ensemble de définition possible pour l'expression algébrique de f.

Exemple :

Soit la fonction définie sur par f(x) = x² + 1.

On pourrait agrandir l'ensemble de définition de f avec la même expression algébrique,

mais alors ce ne serait plus "la même" fonction.

• Il soit étendu aux valeurs interdites par la donnée de valeurs exceptionnelles pour f(x), ou par une autre expression.

Exemple :

Soit la fonction définie sur par :

si

si x < 0

La fonction f est définie par morceaux en utilisant deux expressions différentes,

de manière à ce que les valeurs interdites de chaque expression soit évitées.

[modifier] Exercice

Chacune des expressions ci-dessous définit une fonction f. Exprimer sous forme d'intervalle

ou d'union d'intervalles le plus grand ensemble de définition D_f possible.

a)

b)

c)