Ensemble (mathématiques)/Définitions

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Ensembles

Définitions : ensemble, élément et notion d'appartenance

Un ensemble est une collection ou un groupement d'objets distincts ; ces objets s'appellent les éléments de cet ensemble.

Soit $E$ un ensemble. Quand $a$ est un élément de $E$, nous disons que $a$ est dans $E$ ou que $a$ appartient à $E$ et nous écrivons $a\in E$, ce qui se lit « $a$ appartient à $E$ ». Quand, au contraire, $a$ n’est pas élément de $E$, nous disons que $a$ n'appartient pas à $E$ et nous écrivons $a\not \in E$, ce qui se lit « $a$ n'appartient pas à $E$ ».

Définition/Notation : ensemble vide

Un ensemble est dit vide s'il n'a aucun élément et nous notons l'ensemble vide $\left\{\right\}$ ou plus souvent $\varnothing$.

Remarque

Retenons qu'une chose est un ensemble si nous pouvons dire si un objet quelconque est ou n’est pas élément de cette chose ; concernant l’ensemble vide, nous pouvons dire qu'aucun objet n'est élément de cette chose.

Exemples d'ensembles

1. Les entiers naturels $0,1,2,3,...$ forment un ensemble qui se note $\mathbb {N}$.
2. Les entiers relatifs $...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...$ forment un ensemble qui se note $\mathbb {Z}$.
3. Les nombres rationnels (de la forme ${\frac {p}{q}}$ où $p\in \mathbb {Z}$ et $q\in \mathbb {N} ^{*}$) forment un ensemble noté $\mathbb {Q}$.
4. Les points du plan forment un ensemble.

Définition d’un ensemble en extension et en compréhension

Un ensemble peut être défini en extension, c'est-à-dire en donnant la liste de ses éléments entre accolades, ou en compréhension c'est-à-dire par une propriété caractérisant ses éléments.

La manière la plus simple de décrire un ensemble « fini » est de lister ses éléments entre accolades. L'ensemble est alors défini en extension. Par exemple {1,2} représente l’ensemble dont les éléments sont 1 et 2.

• L' ordre des éléments ne revêt aucune importance ; par exemple, {1, 2} = {2, 1}.
• La répétition d'éléments entre les accolades ne modifie pas l'ensemble ; par exemple, {1, 2, 2} = {1, 1, 1, 2} = {1, 2}.

Pour définir en extension un ensemble dont le « nombre » d'éléments est « infini », nous pouvons écrire quelques éléments de cet ensemble suivis de points de suspension. Par exemple, l’ensemble des entiers naturels se définit par : $\mathbb {N}$ = {0, 1, 2, 3, …}. Les points de suspension peuvent aussi être utilisés pour abréger l'écriture de la liste des éléments de certains ensembles « finis ». Par exemple l’ensemble {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21} s'écrit plus simplement {1, 3, 5, … , 21}.

Un abus de notation permet de définir un ensemble en plaçant entre accolades la nature des objets qui lui appartiennent. Par exemple la notation {entiers relatifs pairs} désigne l’ensemble de tous les entiers relatifs multiples de 2. Il est aussi possible de définir un ensemble par une proposition logique P qui dépend de x. L'ensemble est alors constitué de tous les objets x pour lesquels la condition P est vraie. Cet ensemble se note {x | P(x)}. Par exemple, {x | x est un nombre réel} désigne l’ensemble $\mathbb {R}$ des nombres réels. Cette notation est appelée « notation de définition d’un ensemble en compréhension ». Quelques variantes de notations de définition d’un ensemble en compréhension sont :

• {x ∈ A | P(x)} désigne l’ensemble des x qui sont déjà éléments de A tels que la condition P soit vérifiée pour ces x. Par exemple, si $\mathbb {Z}$ est l’ensemble des entiers relatifs, alors {x ∈ $\mathbb {Z}$ | x est pair} est l’ensemble de tous les entiers relatifs pairs.
• {F(x) | x ∈ A} désigne l’ensemble de tous les objets obtenus en mettant les éléments de l’ensemble A dans la formule F. Par exemple, {2x | x ∈ $\mathbb {Z}$.} est encore l’ensemble de tous les entiers relatifs pairs.
• {F(x) | P(x)} est la forme la plus générale de la définition en compréhension. Par exemple, {propriétaire de x | x est un chien} est l’ensemble de tous les propriétaires de chiens.

Définition : égalité de deux ensembles

Deux ensembles $E$ et $F$ sont dits égaux s'ils ont exactement les mêmes éléments. $E=F$ signifie donc : $\forall x\ \left(x\in E\Leftrightarrow x\in F\right)$.

Prédicat collectivisant

Définition

Un prédicat ${\mathcal {A}}(x)$ est dit collectivisant s'il existe un ensemble $A$ tel que : $\forall x({\mathcal {A}}(x)\Leftrightarrow x\in A)$.

Remarque

Par extensionalité (voir supra), un tel ensemble $A$ est alors unique.

Début de l'exemple

Exemples

Faites ces exercices : Exercice 1-5.

• Pour tout ensemble $A$, le prédicat $x\in A$ est trivialement collectivisant.
• Le prédicat $x\notin x$ n'est pas collectivisant : c'est le paradoxe de Russell.

Fin de l'exemple

Référence : E. Ramis, C. Deschamps et J. Odoux, Cours de mathématiques spéciales, Algèbre, p. 7 

Sous-ensemble, partie d’un ensemble

Inclusion

Définition

Soient $E$ et $F$ deux ensembles quelconques. $E$ est dit inclus dans $F$ si tout élément de $E$ est un élément de $F$. On dit aussi que $E$ est un sous-ensemble de $F$ ou encore que $E$ est une partie de $F$.

On note $E\subset F$.

Soit : $(E\subset F)\Leftrightarrow \left(\forall x\in E\quad x\in F\right)$.

On note ${\mathcal {P}}(E)$ l’ensemble des parties de $E$.

Début de l'exemple

Exemple

L'ensemble des entiers relatifs est inclus dans l’ensemble des nombres rationnels : $\mathbb {Z} \subset \mathbb {Q}$.

Fin de l'exemple

Proposition

Pour tous ensembles $E$, $F$ et $G$, on a :

• $E\subset F$ et $F\subset G$ implique $E\subset G$ ; c’est la transitivité de la relation « est inclus dans ».
• $E\subset F$ et $F\subset E$ est équivalent à $E=F$ ; c’est l'antisymétrie de la relation « est inclus dans ».

Démonstration

• Soient $E$, $F$ et $G$ trois ensembles.

Supposons $E\subset F$ et $F\subset G$

Soit $x\in E$, on a $x\in F$ (car $E\subset F$)

De même comme $x\in F$ et $F\subset G$ on a $x\in G$

Donc $\forall x\in E,x\in G$ d'où $E\subset G$

• Soient $E$ et $F$ deux ensembles.

Notons $G=\{x\;|\;x\in E{\mbox{ et }}x\in F\}$. $G$ est l’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à $E$ et à $F$ (en fait $G=(F\bigcap E)$).

Remarquons que :

$(E\subset F)\Leftrightarrow {\mbox{tout élément de E appartient a F}}\Leftrightarrow (G=E)$

De même on a :

$(F\subset E)\Leftrightarrow (G=F)$

On a ainsi montré :

$((E\subset F)\wedge (F\subset E))\Leftrightarrow ((G=E)\wedge (G=F))$

Or, comme d’autre part :

${\mbox{(E = F)}}\Leftrightarrow {\mbox{(tout élément de E appartient a G)}}\wedge {\mbox{(tout élément de F appartient a G)}}$

$\Leftrightarrow ((G=E)\wedge (G=F))$

On obtient :

$((E\subset F)\wedge (F\subset E))\Leftrightarrow ((G=E)\wedge (G=F))\Leftrightarrow (E=F)$