Ensemble des nombres réels et sous-ensembles/Présentation globale

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**Présentation globale**
Leçon : Ensemble des nombres réels et sous-ensembles

Chapitre 1
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Chap. suiv. :	Intervalles dans l'ensemble des nombres réels

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[modifier] Les entiers naturels

Définition

$\N$ désigne l'ensemble des entiers naturels. $\N=\{0;1;2;3;...\}$

[modifier] Exemples

3 appartient à $\N$ , on note : $3\in \N$ .
$3,5 \notin \N$

[modifier] Les entiers relatifs

Définition

L'ensemble de entiers relatifs est :

$\Z=\{...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...\}$

[modifier] Les décimaux

Définition

Un nombre est décimal s'il s'écrit avec un nombre fini et non nul de chiffres après la virgule.

On note $\mathbb{D}$ l'ensemble des décimaux.

[modifier] Exemples

3,5 est décimal.
-2 $\in\mathbb{D}$ (comme tous les entiers relatifs).
-2,123 $\in \mathbb{D}$ .
$\frac{1}{3} \notin \mathbb{D}$ .

[modifier] Les rationnels

Définition

Un nombre rationnel peut s'écrire comme quotient $\frac{a}{b}$ de deux entiers relatifs.

On note $\Q$ l'ensemble des rationnels.

[modifier] Exemples

1,123456789 est rationnel (comme tous les décimaux) car $1,123456789=\frac{1123456789}{1000000000}$
$\frac{1}{3} \in \Q$

Exemple

$\sqrt{2}$ n'est pas rationnel car il n'existe pas d'entiers tels que $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$

Démonstration

On utilise le petit résultat suivant : un entier et son carré ont même parité. En effet si $n = 2 m$ alors $n 2 = 4 m 2 = 2(2 m 2)$ , et si $n = 2 m + 1$ alors $n 2 = 4 m 2 + 2 m + 1 = 2(2 m 2 + m) + 1$ .

Ceci étant on procède par l'absurde et on choisie une fraction irréductible tel que $\frac{a}{b}=\sqrt{2}$ . Ainsi $a 2 = 2 b 2$ est pair, donc $a$ aussi qu'on écrit donc $a = 2 a'$ . mais alors $4 a' 2 = 2 b 2$ de sorte que $2 a' 2 = b 2$ , et que b est aussi pair, ce qui contredit l'hypothèse d'irréductibilité.