Discussion:Matrice/Inverse

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Bonjour, je cherche à démontrer la propriété \{A \times B\}^{-1} = {B}^{-1} \times {A}^{-1} dans le cas de matrices (A et B) inversibles et de même dimension. Merci d'avance— Le message qui précède, non signé?, a été déposé par 85.68.49.47 (d · c · b).

L'existence est assurée par le fait que les matrices A et B représentent deux endomorphismes u et v dans une base donnée. Si A et B sont inversibles, cela signifie que u et v sont des endomorphismes bijectifs, donc la composée u\circ v est une bijection, représentée par la matrice AB qui est donc inversible.
Comme on connaît l'existence d'un inverse unique, il suffit de l'exhiber et de prouver que le produit vaut In comme suit (on utilisera l'associativité de la multiplication des matrices) :
(B^{-1}A^{-1})\cdot AB = B^{-1} (A^{-1} A)B = B^{-1}I_nB=B^{-1}B=I_n
On a donc prouvé que (B^{-1}A^{-1})\cdot AB=I_n, donc l'inverse de AB est (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\,
Xzapro4 discuter 25 février 2009 à 17:35 (UTC)
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