Matrice/Inverse

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Sommaire 1 Introduction 2 Exemple motivant 3 Définition 4 Propriétés de l'inverse 5 Ensemble des matrices inversibles 6 Calcul de l'inverse 6.1 Cas des matrices 2 × 2 6.2 Cas général 6.3 Inversion par blocs 7 Interprétations 8 Application à la résolution

[modifier] Introduction

Après avoir vu qu'il était possible de multiplier des matrices entre elles, on peut naturellement se demander s'il est possible de « diviser » par des matrices. Une telle chose n'a pas de sens rigoureux mathématiquement, et amène à la notion d'inverse, développée dans ce chapitre.

[modifier] Exemple motivant

Soit une équation simple impliquant des nombres réels :

On suppose a et b non-nuls. Alors la solution existe, elle est unique, et il s'agit de :

On cherche à trouver quelque chose d'équivalent pour les matrices, qui permettrait de résoudre les équations matricielles de même type :

[modifier] Définition

Inverse d'une matrice

Soit M une matrice carrée de taille n × n. Lorsqu'elle existe, on appelle inverse de M, et on note M⁻¹ l'unique matrice carrée de taille n × n telle que :

On peut remarquer, d'après les propriétés du déterminant vues dans un précédent chapitre, que :

Cette relation ne peut pas être vérifiée si le déterminant de M est nul. Le théorème suivant renforce cette constatation :

Existence et unicité de l'inverse

Soit une matrice carrée M. Alors M admet un unique inverse si et seulement si : Alors, on a : Une matrice dont le déterminant n'est pas nul est dite matrice inversible.

[modifier] Propriétés de l'inverse

Propriétés de l'inverse d'une matrice

L'inverse d'une matrice est une matrice inversible, et : L'inverse d'une matrice A multipliée par un scalaire non-nul k donne le produit de l'inverse du scalaire et de la matrice : La transposée de l'inverse est l'inverse de la transposée, et vice versa : Le produit de deux matrices inversibles est inversible, et l'inverse du produit est le produit des inverses. Cependant, l'ordre du produit est inversé :

Attention ! Cette dernière règle est souvent négligée et source d'erreurs !

[modifier] Ensemble des matrices inversibles

Propriété

Pour toutes matrices inversibles A et B de même taille n × n, on a : Cela fait que l'ensemble des matrices inversibles de taille n × n possède une structure de groupe multiplicatif. On l'appelle groupe général linéaire ou groupe linéaire et on le note :

Il est à noter que les matrices sont « presque toutes » inversibles (on peut donner un sens rigoureux à cela). Si on prend une matrice « au hasard », la probabilité qu'elle soit non-inversible (c'est-à-dire de déterminant exactement 0) est nulle. En physique notamment, où l'on est parfois amené à inverser des matrices de mesures, on ne se pose même pas la question !

Celà n'est vrai que lorsque l'on travaille dans R (les réels). Lorsque l'on travaille dans des ensembles plus complexes (comme par exemple Z/26Z, très courant en cryptographie), l'inversibilité d'une matrice est loin d'aller de soi.

[modifier] Calcul de l'inverse

Calculer l'inverse d'une matrice est une tâche ardue à la main dès lors qu'on aborde les matrices 3 × 3, et la difficulté croît avec la taille.

[modifier] Cas des matrices 2 × 2

Inverse d'une matrice 2 × 2

Un cas très simple (et à mémoriser) est celui des matrices de taille 2 × 2, dont l'inverse est très facile à calculer. Soit la matrice : Alors : .

Démonstration

La démonstration est immédiate : il suffit de faire le produit. Comme l'inverse est unique, ce calcul est suffisant.

Exemple

Soit la matrice A définie par : Alors :

[modifier] Cas général

Le moyen le plus simple est d'utiliser la méthode dite du pivot de Gauss.

Exemple

Soit la matrice A définie par : On met en face la matrice que l'on cherche a inverser et la matrice identité : on a donc : & : On applique alors le pivot de Gauss en ligne Sur les deux matrices symétriquement jusqu'à obtenir la matrice identité a la place de A et l'on obtient la matrice A-1 a la place de la matrice identité: & : & : & : Ici les notations A* et Id* ne veulent absolument rien dire elles sont juste ici pour ce souvenir que les matrices que lui sont associées sont issus respectivement de A et Id.

[modifier] Inversion par blocs

[modifier] Interprétations

Dire qu'une matrice A est inversible équivaut à chacune des propositions suivantes :

• A est équivalente à la matrice unité ;
• le déterminant de A est non nul : det (A) ≠ 0,
• le rang de A est égal à n ;
• les colonnes de A, considérées comme des vecteurs de forment une base de  ;

[modifier] Application à la résolution