Matrice/Inverse

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Inverse
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Chapitre no8
Leçon : Matrice
Chap. préc. : Trace
Chap. suiv. : Matrices particulières
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Matrice/Inverse
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Introduction[modifier | modifier le wikicode]

Après avoir vu qu'il était possible de multiplier des matrices entre elles, on peut naturellement se demander s'il est possible de « diviser » par des matrices. Une telle chose n'a pas de sens rigoureux mathématiquement, et amène à la notion d'inverse, développée dans ce chapitre.

Exemple motivant[modifier | modifier le wikicode]

Soit une équation simple impliquant des nombres réels : a \cdot x = b On suppose a et b non-nuls. Alors la solution existe, elle est unique, et il s'agit de : x = \frac{b}{a} = \frac{1}{a} \cdot b On cherche à trouver quelque chose d'équivalent pour les matrices, qui permettrait de résoudre les équations matricielles de même type : \mathbf A \cdot \mathbf X = \mathbf B

Définition[modifier | modifier le wikicode]



On peut remarquer, d'après les propriétés du déterminant vues dans un précédent chapitre, que : \mathrm{det}\, \mathbf M^{-1} \cdot \mathrm{det}\, \mathbf M= 1 Cette relation ne peut pas être vérifiée si le déterminant de M est nul. Le théorème suivant renforce cette constatation :


Début d'un théorème
Fin du théorème


Propriétés de l'inverse[modifier | modifier le wikicode]


Image logo indiquant une information importante Attention ! Cette dernière règle est souvent négligée et source d'erreurs !

Ensemble des matrices inversibles[modifier | modifier le wikicode]


Il est à noter que les matrices sont « presque toutes » inversibles (on peut donner un sens rigoureux à cela). Si on prend une matrice « au hasard », la probabilité qu'elle soit non-inversible (c'est-à-dire de déterminant exactement 0) est nulle. En physique notamment, où l'on est parfois amené à inverser des matrices de mesures, on ne se pose même pas la question !

Celà n'est vrai que lorsque l'on travaille dans R (les réels). Lorsque l'on travaille dans des ensembles plus complexes (comme par exemple Z/26Z, très courant en cryptographie), l'inversibilité d'une matrice est loin d'aller de soi.

Calcul de l'inverse[modifier | modifier le wikicode]

Calculer l'inverse d'une matrice est une tâche ardue à la main dès lors qu'on aborde les matrices 3 × 3, et la difficulté croît avec la taille.

Cas des matrices 2 × 2[modifier | modifier le wikicode]

On sait que le déterminant des matrices 2 × 2 de la forme : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} est ad - cb.


Début d'un théorème
Fin du théorème



Début d'une démonstration
Fin de la démonstration



Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Cas général[modifier | modifier le wikicode]

Le moyen le plus simple est d'utiliser la méthode dite du pivot de Gauss.


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Inversion par blocs[modifier | modifier le wikicode]

Interprétations[modifier | modifier le wikicode]

Dire qu'une matrice A est inversible équivaut à chacune des propositions suivantes :

  • A est équivalente à la matrice unité ;
  • le déterminant de A est non nul : det (A) ≠ 0,
  • le rang de A est égal à n ;
  • les colonnes de A, considérées comme des vecteurs de \scriptstyle \mathbb{K}^n forment une base de \scriptstyle \mathbb{K}^n ;

Application à la résolution[modifier | modifier le wikicode]

Matrice
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