Continuité et variations/Fonctions continues strictement monotones

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Fonctions continues strictement monotones
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Chapitre 3
Leçon : Continuité et variations
Chap. préc. : Théorème des valeurs intermédiaires


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Continuité et variations/Fonctions continues strictement monotones », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions strictement monotones

Théorème

Si f\, est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I=[a;b]\,,

alors pour tout réel k\, tel que : f(a)\leq k\leq f(b)\,,

l'équation f(x)=k\, admet une solution c\, unique dans [a;b]\,
Démonstration

Cette démonstration n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. Comment faire ?

Remarque : Par convention, les flèches d'un tableau de variation indiquent la stricte monotonie, cela permet d'appliquer plus facilement ce théorème.

[modifier] Extensions du théorème à des intervalles ouverts

Théorème

Si f\, est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I=]a;b[\,, ( a et b pouvant être infinis)


alors pour tout réel k\, tel que : k\in ]\lim_{x \to a} f(x);\lim_{x \to b} f(x)[\,,

l'équation f(x)=k\, admet une solution c\, unique dans ]a;b[\,


Remarque :

  • Les limites aux bornes (éventuellement infinies) existent nécessairement en vertu de la monotonie de f\,.
  • On pourrait fabriquer un théorème semblable pour les intervalles semi-ouverts.

[modifier] Exemple : Étude du signe d'une fonction

Soit f la fonction définie sur \R par f(x) = ex + x + 1.

1. Démontrer que f(x) = 0 admet une solution unique α sur \R

2. Déterminer une valeur approchée de α au dixième.

3. En déduire le tableau de signe de f(x) sur \R.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. Comment faire ?

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