Cinématique (Expert)/Introduction à la cinématique, dérivation d'une fonction vectorielle

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**Introduction à la cinématique - Dérivation d'une fonction vectorielle**
Leçon : Cinématique (Expert)

Chapitre 2
Chap. préc. :	Géométrie des systèmes mécaniques
Chap. suiv. :	Champs des vecteurs vitesses des points d'un solide

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[modifier] Notations

Dérivée d'une fonction réelle x : $\dot x$

Vecteur position : $\overrightarrow{OM(t)}$

Vecteur vitesse : $\frac{\mathrm d \overrightarrow{OM(t)}}{\mathrm dt} = \overrightarrow{Vm_{1/0}}$

Vecteur accélération : $\frac{\mathrm d^{2} \overrightarrow{OM(t)}}{\mathrm dt^2} = \overrightarrow{\Gamma m_{1/0}}$

[modifier] Définitions

[modifier] Fonction vectorielle

Dans l'espace réel $\R^3$ muni d'une base $B(\vec i, \vec j, \vec k)$ , on définit une fonction vectorielle $\overrightarrow{u_{(t)}}$ telle que :

$\overrightarrow{u_{(t)}} = u_1(t)\vec i + u_2(t)\vec j + u_3(t)\vec k$ .

On suppose $\overrightarrow{u_{(t)}}$ continue et suffisamment dérivable sur l'espace d'étude.

[modifier] Dérivation d'une fonction vectorielle définie dans la base B, par rapport à la base B

Soit $\overrightarrow{u_{(t)}}$ définie dans B telle que :

$\overrightarrow{u_{(t)}} = u_1(t)\vec i + u_2(t)\vec j + u_3(t)\vec k$ .

La dérivée de la fonction vectorielle u dans la base B et par rapport au paramètre t est définie de la manière suivante :

$\frac{\mathrm d\overrightarrow{u_{(t)}}}{\mathrm dt} = \left( \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} u_1(t) \right) \vec i + \left( \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} u_2(t) \right) \vec j + \left( \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} u_3(t) \right) \vec k$

Propriété

$\frac{\mathrm d\overrightarrow{u_{(t)}}}{\mathrm dt}= \dot u_1(t) \vec i + \dot u_2(t) \vec j + \dot u_3(t) \vec k$

[modifier] Dérivation d'une fonction vectorielle définie dans la base B, par rapport à la base $B 0$

Soit $\overrightarrow{u_{(t)}}$ définie dans B telle que :

$\overrightarrow{u_{(t)}} = u_1(t)\vec i + u_2(t)\vec j + u_3(t)\vec k$ .

On définit une deuxième base $B 0$ orthogonale directe $B_0(\overrightarrow{i_0},\overrightarrow{j_0},\overrightarrow{k_0})$ . Nous observons la dérivation dans $B 0$ de la fonction $\overrightarrow{u_{(t)}}$ définie dans B :

[modifier] Vecteur instantané de rotation dans le cas d'une rotation plane

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Champs des vecteurs vitesses des points d'un solide

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[modifier] Définitions

[modifier] Fonction vectorielle

[modifier] Dérivation d'une fonction vectorielle définie dans la base B, par rapport à la base B

[modifier] Dérivation d'une fonction vectorielle définie dans la base B, par rapport à la base $B 0$

[modifier] Vecteur instantané de rotation dans le cas d'une rotation plane

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[modifier] Dérivation d'une fonction vectorielle définie dans la base B, par rapport à la base B

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