Cinématique (Expert)/Géométrie des systèmes mécaniques

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**Géométrie des systèmes mécaniques**
Leçon : Cinématique (Expert)

Chapitre 1
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Chap. suiv. :	Introduction à la cinématique, dérivation d'une fonction vectorielle

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Sommaire

1 Problème fondamental
- 1.1 Mise en situation
- 1.2 Outil mathématique : changement de base
2 Déplacement d'un solide (cas général)
- 2.1 Déplacement d'un point d'un solide
  - 2.1.1 Position du point A à l'instant (t₁)
  - 2.1.2 Formule générale du déplacement du point A
- 2.2 Relation entre les déplacements de deux points d'un solide S₁
3 Déplacement d'un solide (système mécanique plan)
4 Approximation des petits déplacements
- 4.1 Présentation du problème
- 4.2 Torseur des petits déplacements

[modifier] Problème fondamental

Dans un problème de mécanique, on a souvent besoin de trouver :

Le positionnement d'un solide par rapport au solide de référence.
Le positionnement d'un solide S par rapport à un autre solide, car les deux solides appartiennent au système mécanique étudié.
Le positionnement d'un centre de liaison et de son axe de direction.

[modifier] Mise en situation

On connait la position du point A au sein d'un solide S₁ (elle ne change pas au cours du temps) :

$\overrightarrow {O_1A} = x_1 \vec j_1 + y_1 \vec k_1 + z_1 \vec k_1$

On souhaite savoir la position du point A par rapport au repère de référence R₀ de centre O :

$\overrightarrow {OA} = x_0 \vec j_0 + y_0 \vec k_0 + z_0 \vec k_0$

Pour parvenir à exprimer le vecteur $\overrightarrow {OA}$ , on va utiliser la relation de Chasles :

$\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OO_1} + \overrightarrow {O_1A}$

[modifier] Outil mathématique : changement de base

Liberté entre deux solides :

3 translations
3 rotations

Le problème du changement de base intervient lors de rotations entre différentes bases (systèmes d'axes).

Exemple et définition

Rotation d'angle $θ$ autour de l'axe $\vec x_0$ .

Il est possible de définir les vecteurs de la base 1 dans la base 0. Pour cela il faut utiliser la trigonométrie.

$\begin{cases} \vec x_1 = \vec x_0 \\ \vec y_1 = \cos\theta \vec y_0 + \sin\theta \vec z_0 \\ \vec z_1 = - \sin\theta \vec y_0 + \cos\theta \vec z_0 \end{cases}$

Cette écriture en équation peut être reprise sous forme de matrice.

$\Longrightarrow \mathbb{ P }_{[R_0\rightarrow R_1]}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & \sin\theta \\ 0 & -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

On l'appelle matrice rotation autour de $\vec x$ .

Il s'agit d'une matrice orthogonale, ce qui a deux conséquences importantes :

on a toujours $\mathrm{det}\, \mathbb P =1$ ;
la matrice inverse est sa transposée : $\mathbb{ P }_{[R_1\rightarrow R_0]}=\mathbb{ P }_{[R_0\rightarrow R_1]}^{-1} = \mathbb{ P }^t _{[R_0\rightarrow R_1]}$

[modifier] Déplacement d'un solide (cas général)

[modifier] Déplacement d'un point d'un solide

À l'instant $t = 0$ (t₀), nous observons un solide S₁ muni d'un repère $R_1(O_1,\vec{x_1},\vec{y_1},\vec{z_1})$ qui à cet instant coïncide avec le repère de référence $R_0(O_0,\vec{x_0},\vec{y_0},\vec{z_0})$ .

On considère un point $A (t 0)$ et on observe le déplacement de ce point vers le point $A (t 1)$ (déplacement du point A entre l'instant $(t 0)$ et $(t 1)$ ).

Le déplacement du point A appartenant au solide S₁ entre les instants $t 0$ et $t 1$ est défini par le vecteur :

$\overrightarrow{D(A)}=\overrightarrow{A_{(t_0)}A_{(t_1)}}$
$\overrightarrow{D(A)}=\overrightarrow{A_{(t_0)}O}+\overrightarrow{OA_{(t_1)}}$
$\overrightarrow{D(A)}=-\overrightarrow{OA_{(t_0)}}+\overrightarrow{OA_{(t_1)}}$

Bilan

Pour connaître le déplacement du point A, il suffit de connaître :

la position du point A à l'instant $(t 0)$ (le plus souvent une donnée du problème) ;
la position du point A à l'instant $(t 1)$ (la partie qu'on va développer par la suite).

[modifier] Position du point A à l'instant $(t 1)$

La position du point A à l'instant $(t 1)$ nous pose un problème lorsqu'on utilise la relation de Chasles :

$\overrightarrow{OA_{(t_1)}} \Big|_{R_0} = \overrightarrow{O{O_1}_{(t_1)}} \Big|_{R_0} + \overrightarrow{O_1A_{(t_1)}} \Big|_{R_1}$

On peut remarquer que dans l'équation écrite un peu plus haut, on veut soustraire deux vecteurs appartenant à des bases différentes ( $R 0$ et $R 1$ ). Pour pouvoir utiliser l'opérateur soustraction entre deux vecteurs, il faut que ces deux vecteurs soient écrits dans la même base.

Pour résoudre ce problème on devra utiliser la matrice de passage entre $R 0$ et $R 1$ :

Définition

Soit un vecteur quelconque $\overrightarrow{V}$ . On peut écrire que son image dans le repère $R 0$ est donnée par la relation suivante :

$\overrightarrow{V} \Big|_{R_0}= \mathbb{ P }_{[R_0\rightarrow R_1]} \ \overrightarrow{V} \Big|_{R_1}$

On peut appliquer cette définition à notre vecteur $\overrightarrow{O_1A_{(t_1)}}$ pour le faire passer de $R 1$ à $R 0$ :

$\overrightarrow{O_1A_{(t_1)}} \Big|_{R_0} = \mathbb{ P }_{[R_0\rightarrow R_1]} \ \overrightarrow{O_1A_{(t_1)}} \Big|_{R_1}$

[modifier] Formule générale du déplacement du point A

On peut maintenant réécrire l'expression générale du déplacement du point A.

Définition

$\overrightarrow{D(A)} = \mathbb{ P }_{[R_0\rightarrow R_1]} \ \overrightarrow{O_1A_{(t_1)}} - \overrightarrow{OA_{(t_0)}} + \overrightarrow{O{O_1}_{(t_1)}}$

Je n'ai pas spécifié les repères de chaque vecteur car on a fait attention qu'ils appartiennent tous au repère $R 0$ . On peut maintenant développer les vecteurs par leur coordonnées cartésiens, on a :

$\overrightarrow{OA_{(t_0)}} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{pmatrix}_{\!\!\!\!R_0} = \overrightarrow{{O_1}A_{(t_1)}} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{pmatrix}_{\!\!\!\!R_1}$

Les deux repères sont coïncidents pour $t = 0$ .

$\overrightarrow{O{O_1}_{(t_1)}} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}_{\!\!\!\!R_0}$

On peut maintenant remplacer les vecteurs par leurs composantes :

Formule générale

$\overrightarrow{D(A)} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} + \mathbb{ P }_{[R_0\rightarrow R_1]} \ \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{pmatrix} \ - \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{pmatrix}$

[modifier] Relation entre les déplacements de deux points d'un solide S₁

Considérons un point C tel que :

$\overrightarrow{O_1C_{t_1}}=x_c \overrightarrow{i_1}+y_c \overrightarrow{j_1}+z_c \overrightarrow{k_1}$

Si nous appliquons la relation générale du déplacement, le vecteur ${\overrightarrow{D(C)}}|_{R_0}$ s'écrit :

$\overrightarrow{D(C)} = \begin{pmatrix} x-x_c \\ y-y_c \\ z-z_c \end{pmatrix} + \mathbb{ P }_{[R_0\rightarrow R_1]} \times \begin{pmatrix} x_c \\ y_c \\ z_c \end{pmatrix}$

Pour déterminer la relation qui existe entre les déplacements de deux points d'un solide, nous observons la différence des déplacements.

$\overrightarrow{D(C)}-\overrightarrow{D(A)}]|_{R_0} = \begin{pmatrix} x_a-x_c \\ y_a-y_c \\ z_a-z_c \end{pmatrix} + \mathbb{ P }_{[R_0\rightarrow R_1]} \times \begin{pmatrix} x_c-x_a \\ y_c-y_a \\ z_c-z_a \end{pmatrix}$

En écriture matricielle :

$\overrightarrow{D(C)}-\overrightarrow{D(A)}|_{R_0} = [\mathbb{ P }_{[R_0\rightarrow R_1]}-1] \times \begin{pmatrix} x_c-x_a \\ y_c-y_a \\ z_c-z_a \end{pmatrix}$

On a noté 1 la matrice identité: $1=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Dans ce cas, on a :

Relation entre les déplacements

$[\mathbb{ P }_{[R_0\rightarrow R_1]}-1] = \begin{pmatrix} 0& 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta-1 & \sin\theta-1 \\ 0 & -\sin\theta-1 & \cos\theta-1 \end{pmatrix}$

Avec $x c, y c, z c$ et $x a, y a, z a$ les coordonnées respectives du point C et du point A, exprimées dans le repère lié au solide S₁ ( $R 1$ ).

[modifier] Déplacement d'un solide (système mécanique plan)

[modifier] Paramétrage

La position du solide à l'instant $t 1$ :

$\overrightarrow{OO_1}|_{R_0}=x\overrightarrow{i_0}+y\overrightarrow{j_0}$

La position angulaire est donnée par l'angle $θ$ :

$\theta = ( \overrightarrow{x_0} , \overrightarrow{x_1} )\vec z$

Remarque

Les variables x et y constituent deux paramètres, $θ$ étant le troisième.

[modifier] Matrice rotation

Dans le cas d'un système plan, il est intéressant de donner les formules ci-dessus en fonction de la matrice rotation :

Rappel

$\mathbb{P}_{[0\rightarrow1]} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Dans le plan, la matrice peut s'écrire :

$\mathbb{P}_{[0\rightarrow1]} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

[modifier] Déplacement d'un point A d'un solide

$\overrightarrow{O_1A_{(t_0)}} = x_a\overrightarrow{i_1} + y_a\overrightarrow{j_1}$

$\overrightarrow{O_0A_{(t_1)}} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \mathbb{P}_{[0\rightarrow1]} \times \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \end{pmatrix}$

x et y sont les coordonnées de $O 1$
$\overrightarrow{O_1A_{t_1}} = \overrightarrow{O_1A_{t_0}}$

Déplacement d'un point

$\overrightarrow{D(A)} = \begin{pmatrix} x-x_a \\ y-y_a \end{pmatrix} + \mathbb{P}_{[0\rightarrow1]} \times \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \end{pmatrix}$

[modifier] Relation entre les déplacements de deux points d'un solide S₁

Relation entre les déplacements de deux points

$\overrightarrow{D(C)}-\overrightarrow{D(A)}|_{R_0} = [ \mathbb{P}_{[0\rightarrow1]} - 1 ] \times \begin{pmatrix} x_c-x_a \\ y_c-y_a \end{pmatrix}$

Avec $x c, y c$ et $x a, y a$ les coordonnées respectives du point C et du point A, exprimées dans le repère lié au solide ₁ ( $R 1$ ).

[modifier] Approximation des petits déplacements

Surtout valable pour de petites rotations.
Étude dans le cas d'un problème plan puis généralisation.

[modifier] Présentation du problème

Nous considérons une rotation $θ$ autour de l'axe $\vec z$ , nous avons la configuration d'un problème plan. En considérant deux point A et C, nous avons observé :

$\overrightarrow{D(C)} - \overrightarrow{D(A)}|_{R_0} = \begin{pmatrix} \cos\theta -1 & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_c-x_a \\ y_c-y_a \end{pmatrix}$

Supposons que le déplacement $θ$ soit un petit déplacement que nous noterons $δθ$ . En conséquence, nous avons deux petits déplacements $\overrightarrow{\delta A}$ et $\overrightarrow{\delta C}$ :

$\overrightarrow{\delta C} - \overrightarrow{\delta A} = \begin{pmatrix} \cos\delta\theta -1 & -\sin\delta\theta \\ \sin\delta\theta & \cos\delta\theta -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_c-x_a \\ y_c-y_a \end{pmatrix}$

On rappelle le développement limité d'une fonction de x, pour x autour de 0 :

$f(x)=f(0)+xf'(0)+ \frac{x^2}{2!} f''(0) + \frac{x^3}{3!} f'''(0) + \ldots$

En utilisant cette formule pour les fonctions sinus et cosinus, on obtient :

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} \Longrightarrow \sin \delta x = \delta x - \frac{\delta x^3}{3!}$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} \Longrightarrow \cos \delta x = 1 - \frac{\delta x^2}{2!}$

Si on approche aux dérivées de 1^er ordre, on retrouve ainsi :

$\sin \delta \theta \approx \delta \theta \,$

$\cos \delta \theta \approx 1 \,$

On a donc :

Approximation des petits déplacements

$\overrightarrow{\delta C} - \overrightarrow{\delta A} = \begin{pmatrix} 0 & -\delta\theta \\ \delta\theta & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_c-x_a \\ y_c-y_a \end{pmatrix}$

[modifier] Torseur des petits déplacements

Voir les exercices sur : Matrice de passage ,vecteur déplacement.

Voir les exercices sur : Torseur des petits déplacements.

Soit un vecteur $\vec V ~\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ . On peut associer à ce vecteur une matrice : $\begin{pmatrix} 0 & -z & y \\ z & 0 & x \\ -y & x & 0 \end{pmatrix}$ .

Posons maintenant un vecteur de petite rotation :

$\overrightarrow{\delta \theta_{(1/0)}} = \delta \theta \vec z$

Sa matrice associée est :

$\begin{pmatrix} 0 & -\delta\theta \\ \delta\theta & 0 \end{pmatrix}$

En utilisant les nouvelles notations, on peut écrire :

$\overrightarrow{\delta C} - \overrightarrow{\delta A} = \overrightarrow{\delta \theta_{(1/0)}} \wedge \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{\delta C} = \overrightarrow{\delta A} + \overrightarrow{AC} \wedge \overrightarrow{\delta \theta_{(1/0)}}$

Nous somme en présence d'un torseur de petit déplacement :

Torseur des petits déplacements

$\begin{Bmatrix} \delta_{(1/0)} \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} \overrightarrow{\delta \theta_{(1/0)}} \\ \overrightarrow{\delta A_{(1/0)}} \end{Bmatrix}$

Pour appliquer les notions vues dans ce cours, il est vivement conseillé de vous entraîner sur les exercices proposées.

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