Champ magnétique, magnétostatique/Théorème d'Ampère

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Théorème d'Ampère

Début d’un théorème

Théorème d'Ampère

Soit $\Gamma$ un contour fermé orienté de l'espace, $\Sigma$ une surface orientée par un vecteur ${\vec {n}}$ en concordance avec $\Gamma$.

La circulation du champ magnétostatique le long de $\Gamma$ est égale à la somme des intensités algébriques enlacées par $\Gamma$ multipliée par $\mu _{0}$

$\oint _{\Gamma }{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}=\mu _{0}\left(\sum _{k}\epsilon _{k}i_{k}\right)$ où

• si $i_{k}$ a le même sens que ${\vec {n}}$ : $\epsilon _{k}=1$
• si $i_{k}$ n'a pas le même sens que ${\vec {n}}$ : $\epsilon _{k}=-1$
• si $i_{k}$ n’est pas enlacé par $\Gamma$ : $\epsilon _{k}=0$

Fin du théorème

Début de l'exemple

Exemple

Dans l'exemple ci-dessus, les intensités enlacées par $\Gamma$ sont i₁,i₂ et i₃. i₄ n'intervient pas dans l’application du théorème d'Ampère à $\Gamma$.

i₁ et i₂ sont orientées en concordance avec $\Gamma$, tandis qu'i₃ est dans le sens contraire. Dans ce cas, on a $\oint _{\Gamma }{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}=\mu _{0}(i_{1}{\color {red}+}i_{2}{\color {red}-}i_{3})$

Fin de l'exemple

Démonstration (niveau 14)

Début d'une démonstration

Démonstration

Dans le cadre de la magnétostatique, ${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {H}})={\vec {j}}$.

Soit $\Gamma$ un contour fermé orienté sur lequel s'appuie une surface $\Sigma$ orientée en concordance avec $\Gamma$. En notant I_e l'intensité algébrique enlacée par $\Gamma$:

${\begin{aligned}\oint _{\Gamma }{\vec {H}}.\mathrm {d} {\vec {l}}&=\iint _{\Sigma }{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {H}}).{\overrightarrow {\mathrm {d} ^{2}S}}\\&=\iint _{\Sigma }{\vec {j}}.{\overrightarrow {\mathrm {d} ^{2}S}}\\&=I_{e}\end{aligned}}$

Fin de la démonstration