Champ magnétique, magnétostatique/Dipôle magnétique

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**Dipôle magnétique**
Leçon : Champ magnétique, magnétostatique

Chapitre 4
Chap. préc. :	Théorème d'Ampère
Chap. suiv. :	Calculs classiques

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Champ magnétique, magnétostatique/Dipôle magnétique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Moment magnétique
- 1.1 Dipôle magnétique
- 1.2 Moment magnétique
2 Champ créé à grande distance par un dipôle magnétique
3 Efforts exercés sur un dipôle

[modifier] Moment magnétique

[modifier] Dipôle magnétique

Définition

Un dipôle magnétique est une boucle de courant dont on considère le champ à grande distance.

[modifier] Moment magnétique

Définition

Le moment magnétique $\vec \mathfrak m$ d'une boucle parcourue par un courant I, de surface a orientée en accord avec I par un vecteur normal $\vec n$ , est défini par $\vec \mathfrak m = aI \vec n$

[modifier] Champ créé à grande distance par un dipôle magnétique

Dispositif

On dispose d'une spire circulaire de centre O, de rayon R, d'axe (Ox), parcourue par un courant i.

On veut calculer le champ magnétique créé en un point M à grande distance de la spire :
- $\overrightarrow{OM} = r \vec u_r$
- $r>>R~$

Soit P un point courant de la spire, repéré par l'angle $\varphi$ entre $\vec u_y$ et $\overrightarrow{OP}$ . Le champ magnétique créé en M par un élément $\mathrm d \vec l$ de spire placé en P vaut $\mathrm d\vec B(M) = \frac{\mu_0 i}{4 \pi} \frac{\mathrm d \vec l \wedge \overrightarrow{PM}}{PM^3}$

$\mathrm d \vec l = \mathrm d \overrightarrow{OP} = \mathrm d\varphi~ \begin{array}{|l} 0\\ -R \sin(\varphi)\\ R \cos(\varphi)\\ \end{array}$

$\overrightarrow{PM} =\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OP}=~ \begin{array}{|l} r \cos(\theta)\\ r \sin(\theta)-R \cos(\varphi)\\ -R \sin(\varphi)\\ \end{array}$

$PM^3=||\overrightarrow{PM}||^3=(R^2+r^2-2rR\sin(\theta) \cos(\varphi))^{\frac32}$ donc $\frac1{PM^3}=\frac1{r^3} \left ( 1 -2\frac Rr \sin(\theta) \cos(\varphi) + \frac{R^2}{r^2} \right )^{-\frac32}$

En faisant un développement limité à l'ordre 1 en $\frac Rr$ , on obtient $\frac 1{PM^3} \approx \frac1{r^3} \left ( 1 +3\frac Rr \sin(\theta) \cos(\varphi) \right )$

On calcule le produit vectoriel :

$\mathrm d \vec l \wedge \overrightarrow{PM} = \mathrm d \varphi~ \begin{array}{|l} R^2 \sin^2(\varphi) + R^2 \cos^2(\varphi) - rR \cos(\varphi) \sin(\theta)\\ rR \cos(\theta) \cos(\varphi)\\ rR \cos(\theta) \sin(\varphi)\\ \end{array}$

On reprend l'expression de $\mathrm d \vec B(M)$ :

$\begin{align} \mathrm d \vec B(M) &= \frac{\mu_0 i ~\mathrm d \varphi}{4 \pi r^3} \left ( 1 +3\frac Rr \sin(\theta) \cos(\varphi) \right )~ \begin{array}{|l} R^2 \sin^2(\varphi) + R^2 \cos^2(\varphi) - rR \cos(\varphi) \sin(\theta)\\ rR \cos(\theta) \cos(\varphi)\\ rR \cos(\theta) \sin(\varphi)\\ \end{array}\\ &= \frac{\mu_0 i ~\mathrm d \varphi}{4 \pi r^3}~ \begin{array}{|l} (R^2 - rR \cos(\varphi) \sin(\theta)) \left ( 1 +3\frac Rr \sin(\theta) \cos(\varphi) \right )\\ rR \cos(\theta) \cos(\varphi) +3R^2 \sin(\theta) \cos(\theta) \cos^2(\varphi)\\ rR \cos(\theta) \sin(\varphi) +3R^2 \sin(\theta) \cos(\theta) \cos(\varphi) \sin(\varphi)\\ \end{array} \end{align}$

Il est maintenant grand temps d'intégrer cette expression pour variant entre 0 et 2π. Sachant que :
- $\int_0^{2\pi} \cos(\varphi)~ \mathrm d\varphi = \int_0^{2\pi} \sin(\varphi)~ \mathrm d\varphi = 0$
- $\int_0^{2\pi} \cos(\varphi) \sin(\varphi)~ \mathrm d\varphi = 0$
- $\int_0^{2\pi} \sin^2(\varphi)~ \mathrm d\varphi = \int_0^{2\pi} \cos^2(\varphi)~ \mathrm d\varphi = \pi$

$\begin{align} \vec B(M)&=\frac{\mu_0 i}{4 \pi r^3}~ \begin{array}{|l} 2\pi R^2 - 3 \pi R^2 \sin^2(\theta)\\ 3 \pi R^2 \sin(\theta) \cos(\theta)\\ 0\\ \end{array}\\ &=\frac{\mu_0 i}{4 \pi r^3} \pi R^2~ \begin{array}{|l} 2 - 3 \sin^2(\theta)\\ 3 \sin(\theta) \cos(\theta)\\ 0\\ \end{array}\\ &=\frac{\mu_0 \mathfrak m}{4 \pi r^3}~ \begin{array}{|l} 3 \cos^2(\theta)-1\\ 3 \sin(\theta) \cos(\theta)\\ 0\\ \end{array}\\ \end{align}$

Lignes de champ d'un dipôle magnétique

Champ magnétique dipolaire

Dans un repère polaire, le champ magnétique dipolaire créé par une boucle de courant de moment magnétique $\mathfrak m$ vaut $\vec B(M)=\frac{\mu_0 \mathfrak m}{4\pi r^3} (2\cos(\theta) \vec u_r + \sin(\theta) \vec u_\theta)$

Remarque

On remarquera la ressemblance importante avec le dipôle électrostatique, tant dans la forme des équations que dans les lignes de champ engendrées.

$\begin{array}{|c|c|} \textrm{Magnetostatique} & \textrm{Electrostatique}\\ \hline \displaystyle{\vec B(M)=\frac{\mu_0 \mathfrak m}{4\pi r^3} (2\cos(\theta) \vec u_r + \sin(\theta) \vec u_\theta)} & \displaystyle{\vec E(M) = \frac{p}{4 \pi \varepsilon_0 r^3} (2 \cos (\theta) \vec u_r + \sin (\theta) \vec u_\theta)}\\ \hline \mu_0 \mathfrak m&\displaystyle{\frac p{\varepsilon_0}}\\ \end{array}$

Il faut bien garder en tête que cette expression n'est qu'une approximation valable à grande distance du dipôle uniquement.

[modifier] Efforts exercés sur un dipôle

On considère un dipôle magnétique disposé dans un champ magnétique extérieur $\vec B$ .

Efforts exercés sur un dipôle dans un champ magnétique extérieur

Le dipôle :

possède une énergie potentielle magnétique $W_m=-\vec\mathfrak m\cdot\vec B$
est soumis à une force $\vec F=-\vec\nabla W_m=\vec\nabla(\vec\mathfrak m\cdot\vec B)$
est soumis à un moment $\vec\Gamma=\vec\mathfrak m\wedge\vec B$

Champ magnétique, magnétostatique

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