Approfondissement sur les suites numériques/Plan d'étude, représentation

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**Plan d'étude, représentation**
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques

Chapitre 9
Chap. préc. :	Définitions
Chap. suiv. :	Approximation de réels

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Approfondissement sur les suites numériques/Plan d'étude, représentation », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dans ce chapitre, nous décrivons le plan d'étude général pour les suites récurrentes d'ordre un. Nous montrons également comment donner une représentation de cette étude, qui aide parfois à comprendre le problème étudié.

[modifier] Plan d'étude

[modifier] Étude de ƒ

La première grande étape consiste à étudier la fonction qui définit la récurrence, c'est-à-dire l'application ƒ telle que :

$\forall n \in \mathbb N, \qquad u_{n+1} = f\left( u_n \right)$

On s'attachera alors à étudier les points suivants :

Linéarité de ƒ : il convient tout d'abord de vérifier si ƒ est linéaire (auquel cas on utilisera les outils adaptés aux suites récurrentes linéaires) ou non (auquel cas, on utilisera les outils de cette leçon). On peut par exemple repérer l'intervalle de définition de ƒ : s'il s'agit d'un intervalle fini, la fonction ne peut pas être linéaire.

Intervalles stables : on peut établir une liste des intervalles stables par ƒ. Puisqu'un point initialement dans un de ces intervalles y restera, nous pouvons étudier ce cas indépendamment de ce que fait ƒ en dehors.

Variations : vérifier — sur chacun des intervalles stables — la continuité (souvent), la dérivabilité (assez souvent), la monotonie (moins souvent) de ƒ fournit des informations pertinentes à son sujet. On peut, de plus, vérifier si ƒ (qu'on sait continue) est k-lipschitzienne, avec k < 1 (ƒ est alors contractante). On étudiera par ailleurs les variations de ƒ(x) - x.

[modifier] Étude des intervalles stables

Nous considérons maintenant chacun des intervalles stables trouvés lors de l'étape précédente. On note I l'intervalle stable que nous étudions.

[modifier] Si ƒ est contractante sur I

Alors le théorème suivant peut être utilisé :

Théorème du point fixe

Soit I un intervalle stable par ƒ. On suppose ƒ une application contractante sur I.

Alors :

ƒ admet un unique point fixe dans I, noté $\ell$ ;
si u₀ est dans I, alors la suite (u_n) converge, et sa limite est $\ell$ ;
la convergence de la suite est rapide (géométrique). Si ƒ est k-lipschitzienne :

$\left|u_n - \ell \right| = \mathrm O \left( k^n \right)$

Démonstration

On définit sur I=[a; b] l'application : $g : x \mapsto f\left(x \right) - x$ , à valeurs réelles. Puisque ƒ est contractante, ƒ est continue, dong g est continue.

Existence de $\ell$

De plus, on a (ce qui découle du fait que ƒ est contractante) :

$g\left(a\right) = f\left(a\right) - a \geq 0$

$g\left(b\right) = f\left(b\right) - b \leq 0$

Alors, g étant continue, le théorème des valeurs intermédiaires, il existe (au moins) un réel $\ell$ tel que :

$g \left( \ell \right) = 0$

c'est-à-dire tel que $\ell$ soit un point fixe de ƒ. Montrons qu'il est unique.

Unicité de $\ell$

Soit $\ell'$ un point fixe de ƒ sur I. Alors, ƒ étant k-lipschitzienne :

$\left| f \left( \ell \right) - f \left(\ell' \right) \right| \leq k \left| \ell - \ell' \right|$

Or ce sont des points fixes de ƒ, donc la relation ci-dessus s'écrit encore :

$\left| \ell - \ell' \right| \leq k \left| \ell - \ell' \right|$

D'où :

$\left( 1 - k \right) \cdot \left| \ell - \ell' \right| \leq 0$

Or, ƒ étant contractante, le membre de gauche de l'inégalité ci-dessus est clairement positif, donc, par encadrement :

$\left( 1 - k \right) \cdot \left| \ell - \ell' \right| = 0$

Puisque ƒ étant contractante, le premier facteur ne peut être nul, c'est donc le second qui l'est, c'est-à-dire :

$\left| \ell - \ell' \right| = 0$

Soit encore $\ell = \ell'$ . L'unicité est démontrée.

Convergence de (u_n)

On a, pour tout entier n :

$\left| u_{n+1} - \ell \right| = \left| f \left( u_n \right) - f \left( \ell \right) \right| \leq k \left| u_n - \ell \right|$

Par une récurrence immédiate, on montre que :

$\forall n \in \mathbb N, \qquad \left| u_n - l \right| \leq k^n \left|u_0 - \ell \right|$

Puisque k < 1, cela montre que la suite converge. De plus, on a :

$\forall n \in \mathbb N, \qquad \left| u_n - l \right| = \mathrm O \left( k^n \right)$

[modifier] Si la fonction ƒ(x) - x est de signe constant sur I

On a alors, si u_n est dans I :

Premier cas : ƒ(x) - x est positive ou nulle, alors la suite est croissante :

$f \left( u_n \right) \geq u_n$

$u_{n+1} = f\left(u_n\right) \geq u_n$

Seconde cas : ƒ(x) - x est négative ou nulle, alors la suite est décroissante :

$f \left( u_n \right) \leq u_n$

$u_{n+1} = f\left(u_n\right) \leq u_n$

Trois cas se présentent alors :

Ou bien ƒ n'admet pas de point fixe sur I, donc diverge ;
Ou bien ƒ admet un point fixe sur I, mais n'y converge pas, à cause de la monotonie ;
Ou bien ƒ admet un point fixe sur I, et y converge.

[modifier] Autres intervalles

Le cas des autres intervalle se ramène souvent, à partir d'un certain terme, à celui d'un point dans un intervalle stable.

[modifier] Exemple

[modifier] Énoncé

Étudier la suite $\left(u_n \right)_{n \in \mathbb N}$ définie par la relation de récurrence :
$\forall n \in \mathbb N, \qquad u_{n+1} = u_n - u_n^2$

[modifier] Résolution

On pose $f : x \mapsto x \left(1 - x\right)$ , définie sur $\R$ .
Cette fonction possède deux intervalles stables :

I = [0 ; 1] ;
J = ]-∞ ; 0[ ;

Premier cas : u₀ est dans I

On a notamment, sur cet intervalle, $f(x) \leq x$ , donc la suite (u_n) est décroissante.
La suite est décroissante et minorée (par 0), donc converge.
La fonction ƒ est continue, la suite converge vers l'un de ses points fixes.
L'unique point fixe de ƒ sur I est 0.

Par conséquent, $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$ .

Second cas : u₀ est dans J

On a, sur cet intervalle, $f(x) \leq x$ , donc la suite (u_n) est décroissante.
Le seul point fixe de ƒ sur cet intervalle est 0 ;
Or la suite est décroissante, donc ne peut pas tendre vers 0;

Par conséquent, la suite diverge, et $\lim_{n \to \infty} u_n = -\infty$ .

Troisième cas : u₀ > 1

Il ne s'agit pas d'un intervalle stable par ƒ, mais u₁ < 0.
Ainsi, à partir du premier rang, l'étude se ramène à celle du second cas.

Par conséquent, la suite diverge, et $\lim_{n \to \infty} u_n = -\infty$ .

[modifier] Représentation

Il est possible de donner une représentation graphique de l'étude d'une suite récurrente d'ordre un :

On trace la fonction ƒ(x)— on appelle F sa courbe représentative ;
On trace la fonction x — on appelle G sa courbe représentative ;

Alors les points d'intersection des deux courbes correspondent aux points fixes de ƒ — si la suite doit converger, c'est vers l'un de ces points.

On place sur l'axe des abscisses le premier élément u₀.
On trace le segment qui part de ce point et atteint verticalement la courbe F ;
On a alors atteint le point (u₀; ƒ(u₀)) c'est-à-dire (u₀; u₁) ;
On trace le segment qui part de ce point et atteint horizontalement la courbe G ;
On a alors atteint le point (u₁; u₁) ;
On recommence à l'étape deux.

Il peut alors se présenter différents cas :

[modifier] Cas d'une suite convergente

Si la suite converge, on a un graphe dont l'allure est la suivante :

[modifier] Cas d'une suite divergente

Si la suite diverge, on a un graphe dont l'allure est la suivante :

[modifier] Cas d'une suite ni convergente, ni divergente

Si la suite ne diverge ni ne converge, différents graphes sont possibles. Un cas parmi d'autres est représenté sur l'image suivante (il s'agit, en particulier, d'un cycle) :

Approfondissement sur les suites numériques

Définitions

Approximation de réels

Approfondissement sur les suites numériques/Plan d'étude, représentation

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Sommaire

[modifier] Plan d'étude

[modifier] Étude de ƒ

[modifier] Étude des intervalles stables

[modifier] Si ƒ est contractante sur I

[modifier] Si la fonction ƒ(x) - x est de signe constant sur I

[modifier] Autres intervalles

[modifier] Exemple

[modifier] Énoncé

[modifier] Résolution

[modifier] Représentation

[modifier] Cas d'une suite convergente

[modifier] Cas d'une suite divergente

[modifier] Cas d'une suite ni convergente, ni divergente

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